4.3.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа, принимающий значения y₁, …, y_n+1в соответствующих точках, записывается в виде:

(7)

или

. (8)

Интерполяционный многочлен Лагранжа можно построить при любом расположении узлов интерполирования (точки могут быть не равностоящие). Однако его недостатком является то, что при изменении числа точек все коэффициенты вычисляются заново.

Пример 2. Рассмотрим предыдущую задачу примера 1. Количество экспериментальных точек m=3. Порядок интерполяционного полинома Лагранжаn=2.

Формула (8) для n=2 будет выглядеть следующим образом:

или, подставив табличные значения, получим:

.

, т. е.a₀=-1,59375, a₁=3,8125, a₂=-0,21875. Приx=3 получимL₂(x)= 7,875.

Оценка погрешности интерполяционного полинома

Лагранжа

, (9)

где M_n+1=maxf⁽ⁿ⁾(x)на [a, b].

4.3.3. Интерполяционные формулы Ньютона для равностоящих узлов

Интерполяционные многочлены Ньютона можно построить только при равноотстоящем расположении узлов интерполирования (точки должны быть равноотстоящие).

Первая интерполяционная формула Ньютона.

Пусть функция y=f(x)задана своими значениями вn+1 узлах интерполирования, т. е.

y₁ = f(x₁); y₂ = f(x₂); … f(x_n+1); …, f(x_n+1) = y_n+1

h = x_i+1-x_i = const,

n+1=m.

Требуется найти многочлен P_n(x)такой, чтобы

P_n(x₁) = f(x₁),

P_n(x₂) = f(x₂),

,

P_n(x_n+1) = f(x_n+1).

Первая интерполяционная формула Ньютона имеет вид:

. (10)

В этой формуле ⁿу₁ означает конечную разностьn-го порядка в точкеу₁. Понятие конечной разности связано с понятием производной. По определению производная

.

В нашем случае х = x_i+1 – x_i= h, как правило, не является бесконечно малой величиной. Приращение функции или конечная разность первого порядка в точкеу₁ записывается так:

у₁ = у₂ – у₁,

конечная разность второго порядка в точке у₁

²у₁ = у₂ –  у₁ =(у₃ – у₂)–(у₂ – у₁) = у₃ – 2у₂ + у₁



конечная разность третьего порядка в точке у₁

³у₁=²у₂ – ²у₁ =(у₃ –у₂)–(у₂ – у₁) =у₃ – 2у₂ + у₁=

=(у₄ –у₃)–2(у₃ – у₂)+ (у₂ – у₁)

ⁿу₁ = (^n-1y₁).

Понятие конечной разности используется также при численном решении дифференциальных уравнений.

Первая интерполяционная формула Ньютона не использует последнийузел интерполирования, а значит, точность интерполирования в начале таблицы будет выше, чем в конце.

Пример 3. Рассмотрим ту же задачу примера 1. Количество экспериментальных точекm=3. Порядок 1-й интерполяционной формулы Ньютонаn=2.

Формула (10) для n=2 будет выглядеть следующим образом:

,

у₁ = у₂ – у₁,

² у₁ = у₂ –  у₁ = у₃ – 2у₂ + у₁,

h=4

или, подставив табличные значения, получим:

.

.

a₀=– 1,59375, a₁=3,8125, a₂=– 0,21875, приx=3P₂(x)= 7,875.

Вторая интерполяционная формула Ньютона

Формула имеет вид:

(11)

Вторая формула Ньютона используется для интерполирования в конце таблицы, т. к. не рассматривает первыйузел интерполирования(х₁, у₁).

Пример 4. Рассмотрим ту же задачу примера 1. Количество экспериментальных точекm=3. Порядок 2-й интерполяционной формулы Ньютонаn=2.

Формула (11) для n=2 будет выглядеть следующим образом:

,

у₂ = у₃ – у₂, ² у₁ = у₂ –  у₁ = у₃ – 2у₂ + у₁, h=4.

.

.

a₀=– 1,59375, a₁=3,8125, a₂=– 0,21875.

При x=3 получаемP₂(x)= 7,875.

Существуют и другие интерполяционные полиномы. Все интерполяционные полиномы предназначены для получения аналитического приближенного описания реального процесса по его n+1 экспериментальным точкам.