3. Методы аппроксимации и интерполирования
Пусть задана некоторая
последовательность экспериментальных
значений
и требуется установить функциональную
зависимостьy=f(x),
которой они подчиняются.
В общем случае вид зависимости у=f(х)неизвестен, поэтому задача обработки экспериментальных данных сводится, по существу, к двум частным задачам, решаемым совместно:
1) выбор и установление характера зависимости (или её структуры);
2) определение коэффициентов этой зависимости (их численных значений), обеспечивающих минимальное отклонение экспериментальных и расчетных значений функции.
Характер зависимости у=f(х), используемой при обработке экспериментальных данных, обычно устанавливается, исходя из физических соображений (закономерность изменения параметров процесса, теоретические предпосылки и т. д.). Если же вид зависимости неизвестен, то чаще всего принимается многочисленное приближение.
Если структура зависимости у=f(х)заранее неизвестна, то обычно наилучшее приближение рассматривают с точки зрения абсолютного совпадения расчетных (полученных по функцииf(x)) и экспериментальных (табличных) значений. Такой подход называетсяинтерполированием (рис. 22).
Рис. 22. Графическое отражение результатов интерполирования (ye– экспериментальные значения,y(x1) – расчетные)
Если структура зависимости у=f(х)заранее известна, т. е. известна структура функцииf(x), и количество параметров функции значительно меньше числа экспериментальных точек, то задачу наилучшего приближения обычно рассматривают с точки зрения минимизации рассогласований между табличными и экспериментальными значениями. Такой подход называетсяаппроксимацией (рис. 23).
Рис. 23. Графическое отражение результатов аппроксимации (ye– экспериментальные значения,y– расчетные)
4. Лабораторная работа № 1. Интерполирование степенными многочленами
Цель работы:
Освоение приемов и методов интерполирования табличных зависимостей степенными многочленами на ЭВМ.
4.1. Постановка задачи
Методом неопределенных коэффициентов осуществить интерполирование значений градуировочной таблицы, в которой отражена зависимость сопротивления от температуры (пункт 4.7, табл. 4). Для интерполирования использовать степенной полином. Метод решения системы линейных уравнений выбрать в соответствии с вариантом. Составить алгоритм и программу расчета коэффициентов интерполяционной зависимости. Определить значение сопротивления при заданной температуре.
Осуществить интерполирование табличной зависимости плотности жидкости от температуры (пункт 4.7, табл. 5). Для интерполирования использовать интерполяционный полином Лагранжа или интерполяционные формулы Ньютона (в соответствии с выбранным вариантом). Составить алгоритм и программу расчета коэффициентов степенного полинома, используя формулы Лагранжа или Ньютона. Определить плотность жидкости при заданной температуре.
4.2. Порядок выполнения работы
Изучить методические указания и ответить на контрольные вопросы.
Получить у преподавателя номер варианта.
Представить математическую формулировку расчета коэффициентов степенного полинома методом неопределенных коэффициентов, при решении системы линейных уравнений использовать метод в соответствии с выбранным вариантом. Определить значение сопротивления при заданной температуре.
Представить математическую формулировку расчета коэффициентов степенного полинома, используя интерполяционные формулы Лагранжа или Ньютона. Определить плотность жидкости при заданной температуре.
Составить схемы алгоритмов и написать программы в среде Mathcadили Си++.
Отладить программу и получить результаты расчетов.
Провести анализ полученных результатов.
Оформить отчет.