8. Лабораторная работа № 4. Решение нелинейных уравнений приближенными методами

Цель работы:

Освоение методов приближенного решения нелинейных уравнений: метода деления отрезка пополам, метода Ньютона, метода простых итераций с последующей реализацией на ЭВМ.

8.1. Постановка задачи

1. В соответствии с выбранным вариантом (пункт 8.7) осуществить решение нелинейного f(x)=0 уравнения с точностью=0,001 тремя методами: методом деления отрезка пополам, методом Ньютона, методом простых итераций.

2. Произвести приближенную оценку корней.

3. Произвести уточнение корней тремя методами оценки.

4. Осуществить проверку полученного каждым методом решения.

5. Дать сравнительную характеристику трех методов, используемых для решения уравнения, по следующим характеристикам:

• быстродействие метода (по количеству итераций);

• сложность реализации метода (преимущества и недостатки).

8.2. Порядок выполнения работы

1. Изучить методические указания и ответить на контрольные вопросы.

2. Получить у преподавателя номер варианта.

3. В соответствии с поставленной задачей:

• осуществить приближенную оценку корней заданного нелинейного уравнения, для чего построить график y=f(x)и найти область пересечения [a, b] графика функции с осью абсцисс (наиболее просто построить график в среде Mathcad);

• произвести уточнение корней, представив математическую формулировку решения нелинейного уравнения по трем методам, составив схемы алгоритмов решения и написав программы в среде СИ++ или Mathcad.

4. Отладить программы и получить результаты расчетов.

5. Результаты расчетов представить графически.

6. Провести анализ полученных результатов (дать сравнительную характеристику использованных методов по точности, сложности реализации, быстродействию).

7. Оформить отчет.

8.3. Краткие теоретические сведения

8.3.1. Этапы решения нелинейного уравнения

Уравнениемназывается равенство с переменной, которое в общем виде записывается в виде:

. (59)

Значение переменной х=х*, обращающее уравнение в тождествоf(x*)=0называетсякорнем уравнения.

Решить уравнение означает найти все его корни. Уравнение, вид которого не позволяет получить формулу для расчета точного значения корня, решается приближенно, например, x=cos(x)(получить систематическое решение невозможно).

Задача приближенного решения уравнения (59) заключается в исследовании функции

с целью поиска такой точки х*на оси, в которой значение функции обращается в нуль, т. е.y*=f(x*)=0.

Численные методы решения складываются из двух этапов.

1. Отделение корней, т. е. нахождение такого интервала [a, b], в котором существует единственный корень. Таких интервалов может быть найдено столько, сколько существует действительных корней у решаемого уравнения.

Существует несколько методов отделения корней: аналитический, графический, графоаналитический. Чаще всего на практике пользуются комбинацией графического и аналитического методов.

Для уравнения f(x)приблизительно строится график. Отделяют интервал[a, b]предположительно содержащий корень, а затем функция в этом интервале исследуется на выполнение трех условий:

• функция в интервале [a, b] должна быть непрерывна;

• монотонна на [a, b], т. е. первая производная не меняет свой знак на этом интервале;

• на конце интервала функция f(x)меняет знак.

Если эти условия выполняются, то интервал [a, b]содержит действительный корень, и причем единственный.

Например, требуется отделить корень уравнения

. (60)

Для этого удобно построить графики функций f(x)=sin(2x)иf(x)=ln(x)(рис. 50,а), а затем на осиOXотметить отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения рассматриваемых кривых. Из графиков следует, что уравнение имеет корень, принадлежащий отрезку1;1,5. В другом варианте – построить график функцииf(x)=sin(2x)-ln(x). Пересечение графика с осьюОХ– определяет местонахождение корня (рис. 50,б).

а) б)

Рис. 50. Графический способ отделения корней сложной функции

2. Уточнение корня, т. е. нахождение его значения внутри интервала [a, b] с заданной степенью точности.

Задача уточнения корня формулируется следующим образом: пусть на интервале [а, b] имеется действительный корень и причем единственный. Необходимо найти этот корень с заданной степенью точности.

Существует большое разнообразие вычислительных методов, реализующих поставленную задачу, однако последовательность основных этапов решения задачи одинакова для всех методов и может быть представлена в виде блок-схемы (рис. 51).

Рис. 51. Этапы отделения корней

Все существующие вычислительные методы уточнения корней нелинейного уравнения условно делятся на 3 группы:

• методы деления отрезка;

• методы, основанные на информации о значении первой производной;

• методы, использующие рекуррентные выражения.

В данной лабораторной работе рассматриваются методы, относящиеся к разным группам.