8.7. Задания

Варианты 1.1.-1.5

Тело брошено под углом к горизонту с начальной скоростью₀из положения с координатойy₀(рис. 70). Изменение высоты телаyпри падении описывается законом:

, (68)

дальность падения тела s_пвычисляется по формуле:

, (69)

скорость в конце полета можно рассчитать по формуле:

. (70)

В(68)-(70)g=9,81 – ускорение свободного падения, м/с²;t – время падения, с;y₀– начальная координата, м;₀– начальная скорость, м/с;– угол к горизонту, под которым брошено тело, …;s_п– дальность падения тела, м.

Рис. 70. Изменение высоты тела при падении (к вариантам 1.1.-1.5)

1.1.Используя (68), найти времяt, через которое тело упадет на землю. Исходные данные:=30,₀=10 м/с,y₀=5 м, 0 t2 с.

1.2.Используя (68), найти угол к горизонту, под которым было брошено тело, если известно, что₀=10 м/с,y₀=8 м,t=2 с, 0 рад.

1.3.Используя (69), найти угол к горизонту, под которым было брошено тело, если известно, что₀=10 м/с,S_п=5 м,t=2 с, 0 рад.

1.4. По формуле (70) найти начальную скорость брошенного тела₀, если известно, что=/3,_п=10 м/с,t=1c, 0₀20 м/с.

1.5.По формуле (70) найти угол к горизонту, под которым было брошено тело, если известно, что₀=10 м/с,_п=14 м/с,t=1,6c, 0 рад.

Варианты 1.6.-1.8

Брусок массыmнаходится на наклонной плоскости с углом наклона(рис. 71). На него воздействует силаF. Коэффициент трения бруска о наклонную плоскостьk. Брусок находится в состоянии покоя, если выполняется следующее условие:

. (71)

В (71) g=9,81 – ускорение свободного падения, м/с²;– угол наклона, …;k– коэффициент трения бруска о наклонную плоскость;m– масса бруска, кг;F– сила воздействия, Н.

Рис. 71. Силы, действующие на брусок (к вариантам 1.6.-1.8)

1.6. Рассчитать силу воздействияF, при которой брусок остается в покое с учетом, что угол наклона плоскости=30. Исходные данные:k=0,2,m=1 кг,g=9,81 м/с², 0 F20 Н.

1.7. Рассчитать коэффициент тренияkбруска о наклонную плоскость, при котором брусок остается в покое с учетом, что=/6,m=1 кг,g=9,81 м/с²,F=3,3 Н, 0 k2.

1.8. Рассчитать массу брускаm, при котором брусок остается в покое, если известно, что=/6 ,k=0,2,g=9,81 м/с²,F=3,32 Н, 0m2 кг.

Варианты 1.9.-1.11

Тело совершает гармонические затухающие колебания. Амплитуда колебаний А. Смещение тела описывается законом:

, (72)

,,, (73)

где А₀–начальная амплитуда колебаний, м;₀– начальная фаза колебаний, …;T– период колебаний, с;– коэффициент затухания;r– коэффициент трения;m– масса тела, кг;_зат– циклическая частота затухающих колебаний, с^-1; ,₀– собственная частота свободных незатухающих колебаний, с^-1;t– время, с;x– величина смещения точки, м.

1.9.Определить момент времениt_п, когда тело в первый раз с момента начала колебаний вернется в положение равновесия. Исходные данные:T=15 с,А₀=10 м,₀=30, r=0,2,m=5 кг, 0 t10с,=3,14 рад.

1.10. Определить коэффициент затухания ,если известно, что с момента начала колебаний до момента, когда тело в первый раз вернулось в положение равновесия, прошло 6,7 с. Исходные данные:T=15 с,А₀=10 м,₀=/6,=3,14 рад, 00,3.

1.11. Рассчитать массу телаm,если известно, что с момента начала колебаний до момента, когда точка в первый раз вернулась в положение равновесия прошло 6,67 с. Исходные данные:T=15 с,А₀=10 м,₀=/6, r=0,2,=3,14 рад, 2 m6 кг.

Вариант 2.1

Точка совершает гармонические колебания с периодом T. Амплитуда колебанийА. Смещение точки описывается законом:

, (74)

где ₀– начальная фаза колебаний, …;t– время, с,T– период колебаний, с;А– амплитуда колебаний, м;x– величина смещения точки, м. Определить момент времениt_п, когда точка в первый раз с момента начала колебаний вернется в положение равновесия. Исходные данные:T=2 с,А=0,1 м,₀=60, 0 t10с,=3,14 рад.

Варианты 2.2.-2.4

Тело, расположенное на горизонтальной плоскости и присоединенное к пружине (рис. 72), совершает гармонические колебания. Трение о поверхность равно нулю. Смещение тела описывается законом:

,, (75)

гдеА– амплитуда колебаний, м;₀– начальная фаза колебаний, …;– частота колебаний,с^-1;k– жесткость пружины;m – масса тела, кг;t– время, с;x– величина смещения точки, м.

Рис. 72. Колебания тела (к вариантам 2.2.-2.4)

2.2.Определить момент времениt_п, когда тело в первый раз с момента начала колебаний вернется в положение равновесия (точка О). Исходные данные:А=0,5 м,₀=0,k=0,09 Н/м²,m=1 кг, 0  t 15с,=3,14 рад.

2.3. Рассчитать жесткость пружиныk, если известно, что с момента начала колебаний до момента, когда тело в первый раз вернулось в положение равновесия, прошло 5 с. Исходные данные:А=1,5 м,₀=60,m=0,85 кг,=3,14 рад, 0k0,2.

2.4. Рассчитать массу тела, если известно, что с момента начала колебаний до момента, когда тело в первый раз вернулась в положение равновесия, прошло 15 с. Исходные данные:А=0,3 м,₀=30,k=0,075 Н/м²,=3,14 рад, 0m5 кг.

Вариант 2.5

При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний с одинаковой частотой

,(76)

результирующее колебание описывается законом:

,, (77)

, (78)

, (79)

где А₁, А₂, А– амплитуды составляющих и результирующего колебаний, м;₁, ₂, – начальные фазы составляющих и результирующего колебаний, , T – период колебаний, с;  – частота колебаний, с^-1; t – время, с; x – величина смещения точки, м.

Определить момент времени t_п, когда тело в первый раз с момента начала колебаний вернется в положение равновесия. Исходные данные:А₁=3 м,А₂=1 м,₁=30,₂=60,T=10 с, 0t3с,=3,14 рад.

Варианты 2.6.-2.9

Изменение заряда на обкладках конденсатора, входящего в состав колебательного контура (рис. 73), подчиняется закону:

, (80)

,, (81)

гдеq₀– амплитудное значение заряда в момент времениt=0, Кл;₀ – начальная фаза колебаний, …; – коэффициент затухания,_зат – циклическая частота свободных затухающих колебаний, с ^-1;R– электрическое сопротивление контура, Ом;L– индуктивность контура, Гн;С– емкость конденсатора, Ф;t– время, с.

Рис. 73. Колебательный контур (к вариантам 2.6.-2.9)

2.6.Определить момент времениt_п, когда заряд на обкладках конденсатора равен нулю. Исходные данные:R=1 Ом,L=0,1 Гн,С=4010^-6Ф,₀=60,q₀=510^-6Кл, 0 t0,007с,=3,14 рад.

2.7.Рассчитать индуктивность колебательного контураL, если известно, что полный разряд конденсатора происходит за время, равное 0,05 с. Исходные данные:R=0,5 Ом, ,С=2010^-6Ф,₀=60,q₀=1,510^-6Кл,=3,14 рад, 0,3L0,5 Гн.

2.8. Рассчитать сопротивление колебательного контураR, если известно, что полный разряд конденсатора происходит за время равное 0,0042 с. Исходные данные:L=0,25 Гн,С=0,410^–6 Ф,₀=60,q₀=2,5 Кл,=3,14 рад, 750R2000 Ом.

2.9. Рассчитать емкость колебательного контураC, если известно, что полный разряд конденсатора происходит за время, равное 0,5 с. Исходные данные:R=0,5 Ом,L=0,25 Гн,₀=30,q₀=0,510^-6Кл,=3,14 рад, 3010^-6С3110^-6Ф.

Варианты 2.10.-2.12

На спокойную воду спущен корабль с нулевой вертикальной скоростью. Если пренебречь силами, обусловленными вязкостью воды, свободные вертикальные колебания корабля в спокойной воде описываются законом:

, (82)

где M– масса корабля,– плотность воды,S– площадь горизонтальной проекции корабля,g– ускорение свободного падения,t – время.

2.10.Определить момент времениt_п, когда корабль достигает своего первоначального положения. Исходные данные:M=500 т,=1 т/м³,S=250 м²,g=9,81 м/с², 0 t1,5с,=3,14 рад.

2.11. Определить массу корабляM, если известно, что корабль достигает своего первоначального положения за 10 с. Исходные данные:=1,03 т/м³,S=500 м²,g=9,81 м/с²,=3,14 рад, 400M500 т.

2.12. Определить площадь горизонтальной проекции корабляS, если известно, что корабль достигает своего первоначального положения за 20 с. Исходные данные:=1 т/м³,M=500 т,g=9,81 м/с²,=3,14 рад, 200S300 м².

Варианты 3.1.-3.4

Тело массы m находится на наклонной плоскости, составляющей угол с вертикалью(рис. 74). К телу прикреплена пружина, жесткость которойС. Пружина параллельна наклонной плоскости. В начальный момент времени телу сообщается скорость₀, направленная вниз по наклонной плоскости. Если начало координат взять в положении статического равновесия, уравнение движения тела запишется:

,, (83)

гдеg– ускорение свободного падения, м/с²;t– время, с;m – масса тела, кг;С– жесткость пружины;– угол плоскости с вертикалью, …;₀– начальная скорость тела, м/с;x– величина смещения точки, м.

Рис. 74. Тело на наклонной плоскости (к вариантам 3.1.-3.4)

3.1.Найти моменты времениt, когда тело возвращается в начальное положение. Исходные данные:С=0,09 Н/м²,m=1,5 кг,₀=0,3 м/с,g=9,81 м/с²,=45, 0 t18с,=3,14 рад.

3.2. Рассчитать жесткость пружиныС, если известно, что тело возвращается в начальное состояние за 6,37 с. Исходные данные:m=1,5 кг,₀=0,3 м/с,g=9,81 м/с²,=45,=3,14 рад, 0,02С0,5 Н/м².

3.3. Рассчитать массу телаm, если известно, что тело возвращается в начальное состояние за 6,37 с. Исходные данные:С=0,09 Н/м²₀=0,3 м/с,g=9,81 м/с²,=45,=3,14 рад, 0,5 m 3 кг.

3.4. Рассчитать угол , если известно, что тело возвращается в начальное состояние за 6,37 с. Исходные данные: m=1,5 кг,С=0,09 Н/м²,₀=0,3 м/с,g=9,81 м/с²,=3,14 рад, 0,2рад.

Вариант 3.5

На гладкой поверхности, наклоненной к горизонту под углом , находится прикрепленный к пружине груз (рис. 75). Статическое удлинение пружины равноf. В начальный момент пружина была растянута из ненапряженного состояния на длину, равную 3 f, и груз отпущен без начальной скорости. Колебания груза в этом случае могут быть описаны законом:

, (84)

гдеg– ускорение свободного падения, м/с²;t– время, с;f – статическое удлинение пружины, м;– угол наклона плоскости к горизонту, …;x– величина смещения точки, м.

Рис. 75. Прикрепленный к пружине груз (к варианту 3.5)

Найти момент времени t_п, когда груз возвращается в начальное положение. Исходные данные:f=0,5 м,g=9,81 м/с²,=60, 0 tс,=3,14 рад.

Вариант 3.6

На два вращающиеся в противоположные стороны цилиндрические шкива одинакового радиуса свободно наложен однородный стержень (рис. 76). Центры шкивов находятся на горизонтальной прямой О₁О₂. РасстояниеО₁О₂=2l. Стержень приводится в движение силами трения, развивающимися в точках касания его со шкивами. Эти силы пропорциональны давлению стержня на шкив, причем коэффициент пропорциональности (коэффициент трения) равенf. При сдвиге стержня из положения симметрии наx₀при начальной скорости₀=0 уравнение движения стержня:

, (85)

гдеg– ускорение свободного падения, м/с²;t– время, с;x– величина смещения точки, м;f– коэффициент пропорциональности;x₀ – начальный сдвиг стержня из положения симметрии, м.

Рис. 76. Вращающие шкивы (к варианту 3.6)

Найти моменты времени t, когда стержень пройдет положение симметрии. Исходные данные:f=0,252,g=9,81 м/с²,l=0,25 м, x₀=0,1 м, 0 tс,=3,14 рад.

Варианты 3.7-3.8

Имеется шнур (рис. 77), закрепленный с одного конца и приводимый в колебания с другого (точка О). Колебания произвольной точкиМ, отстоящей на расстояниихот незакрепленного конца шнура длинойl, описывается уравнением плоской стоячей волны:

, (86)

,, (87)

где А– амплитуда колебаний, м;– дополнительное отставание по фазе, которое может возникать при отражении,;– частота колебаний, с^-1;T– период колебаний, с;– скорость распространения волны, м/с;t– время, с;l– длина шнура, м.

Рис. 77. Колебания точки шнура (к вариантам 3.7.-3.8)

3.7.Определить момент времениt_п, когда точкаМзанимает начальное положение. Исходные данные:А=0,3 м,=30,=2100 м/с,l=5 м,х=2 м, T=2 с, 0t0,1с,=3,14 рад.

3.8. Рассчитать скорость распространения волны,если известно, что точкаМ заняла первоначальное положение через 0,086 с. Исходные данные:А=0,3 м,=30,l=5 м,х=2 м, T=2 с,=3,14 рад, 10003200 м/с.

Варианты 3.9. - 3.11

Брусок массы mнаходится на наклонной плоскости с углом наклона(рис. 78). На него воздействует силаF. Коэффициент трения бруска о наклонную плоскостьk. Брусок находится в состоянии равномерного прямолинейного движения, если выполняется следующее условие:

. (88)

В (88) g=9,81 – ускорение свободного падения, м/с²;– угол наклона, …;k– коэффициент трения бруска о наклонную плоскость;m– массы бруска, кг;F– сила воздействия, Н.

3.9.Определить какова должна быть сила воздействияF, чтобы брусок оставался в состоянии равномерного прямолинейного движения при угле наклона плоскости=30. Исходные данные:k=0,3,m=2 кг,g=9,81 м/с², 0 F30 Н.

Рис. 78. Силы, действующие на брусок (к вариантам 3.9.-3.11)

3.10. Рассчитать коэффициент тренияkбруска о наклонную плоскость, при котором брусок остается в состоянии равномерного прямолинейного движения при угле наклона плоскости=30с учетом, чтоm=2 кг,g=9,81 м/с²,F=20,82 Н, 0,01 k 1,5.

3.11. Рассчитать массу брускаm, при котором брусок остается в состоянии равномерного прямолинейного движения, если известно, что=30,k=0,3,g=9,81 м/с²,F=20,82 Н, 0,01 m 4 кг.