8.3.6. Метод простых итераций

Для решения методом простых итераций уравнение надо привести к нормальному виду, т. е. графически решением уравнения, является точка х=х^* (рис. 57), в которой совпадают значения абсциссы и ординаты функции  (x).

Стратегия метода заключается в том, что выбирается некоторое начальное приближение х⁽⁰⁾[a,b] и строится последовательность приближений {x^(k)} по рекуррентной формуле:

,k=1, 2, …

Рис. 56. Алгоритм поиска корня уравнения методом Ньютона

Рис. 57. Геометрическая интерпретация метода простых итераций

При преобразовании уравнения f(x)=0 к нормальному виду x=(x) получаем две функции – (x)иg(x)=x.

График g(x)представляет собой прямую, проходящую через начало координат под углом 45.

Вид графика (x)зависит от того, каким образом было проведено преобразование к нормальному виду.

Корень уравнения f(x)=0 соответствует абсциссе точки пересеченияфункций (x)иg(x).

Поиск корня осуществляется так.

1. Выбирается начальное приближение x₁(например, точкаa– точка 1).

2. На графике (x)строится точка, соответствующая x₁(точка 2), и рассчитывается значение(x₁)– точка 3.

3. Затем осуществляется переход с кривой (x)на прямуюg(x)(точка 4).

4. Так как у функции g(x)=xзначение аргумента совпадает со значением функции, то можно найти значение следующего аргументаx₂(точка 5).

5. Зная x₂, можно найти соответствующую точку на кривой(x)(точка 6), т. е. осуществить переход с прямойg(x)на кривую(x).

6. Далее повторяются аналогичные действия, заключающиеся в последовательном переходе с кривой (x)на прямуюg(x)и наоборот. При этом рассчитываются значения аргументов и функций в получающихся точках перехода (точки 7–12).

7. Из рис. 57 видно, что этот повторяющийся процесс приведет к получению последовательности приближений к решению {x^(k)}, стремящейся к точке пересечения функций(x)иg(x), т. е. к корню.

Для того чтобы получить решение уравнения методом простых итераций, должны выполняться три условия:

• каждый член последовательности приближений к решению {x^(k)} должен принадлежать отрезку [a,b];

• последовательность {x^(k)} должна быть сходящейся;

• пределом последовательности {x^(k)} должно быть значениех*.

Для выполнения первого условия достаточно соблюдение неравенства:

a (x)  bx[a, b].

Для выполнения второго условия должно соблюдаться следующее неравенство:

|x^(k+1) – x^(k) |<|x^(k) – x^(k-1)|,

но, поскольку

x^(k+1)=j(x^(k)) и x^(k)=j(x^(k-1)),

тогда неравенство будет выглядеть:

|j(x^(k) )– j(x^(k-1) )|<|x^(k) – x^(k-1)|или

.

В соответствии с теоремой Коши для сходящейся последовательности

.

Тогда по определению производной:

.

Получаем достаточное условие сходимости приближений к корню уравнения

|j¢(х)|<1"хÎ[a, b]. (64)

Решение уравнения методом простых итераций считается полученным с заданной степенью точности , когда два последовательных приближения различаются на величину, не превышающую.

 x^(k) – x^(k+1). (65)

Преобразование уравнения f(x)=0 к видух=(x)неоднозначно, поэтому для одной и той же функцииf(x)могут быть получены различные выражения(х).При выполнении преобразований следует иметь в виду, что может получиться выражение, не удовлетворяющее условию сходимости (64). В этом случае надо подобрать другое нормальное выражениех=(x). Рекомендуется уравнениеf(x)=0 преобразовать к виду:

x=х mf(x), т. е.(х)=х–mf(x), (66)

где m– отличная от нуля константа.

Дифференцируя (х), получим:

(х)= 1 mf(x).

Для того чтобы выполнялось условие (64)

(х)=1mf(x)1,

достаточно подобрать mтак, чтобы для"хÎ[a,b]выполнялось неравенство:

0< mf(x)< 2. (67)

Пример.

Требуется уточнить корень уравнения sin(2x) ln(x)=0 на интервале[a, b].

Тогда f(x)=sin(2x)  ln(x).

Представим это уравнение в виде:

x=x m(sin(2x)  ln(x).

В этом случае

 (x)=x  m(sin(2x)  ln(x)),

(x)=1  m(2cos(2x)  1/x).

Подберем константу m так, чтобы выполнялось условие 0<mf(x)< 2.

Для этого на интервале a;b(рис. 58) постоим функциюf(x) = 2cos(2x)  1/x.

Рис. 58. График функции f(x) = 2cos(2x)  1/x

По приведенному графику получаем значение М=f(1,5)=2,647, определяющее максимальное значение функцииf(x) на интервалеa; b.

Если принять значение константы m=1/М, то для всехх1; 1,5функцияmf(x)удовлетворяет условию (67) (рис. 59).

Рис. 59. График функции mf(x) =m(2cos(2x)1/x)

Таким образом, мы добились того, чтобы выполнялось условие сходимости (64) (рис. 60).

Рис. 60. График функции (x)=1m(2cos(2x)  1/x)

В результате будем искать с помощью метода итераций точку пересечения функций (x)=xm(sin(2x)  ln(x)) и g(x)=х (рис. 61).

Рис. 61. Поиск корня методом итераций по функциям (x) иg(х)

После подбора выражения(x) можно приступить к реализации алгоритма поиска корня (рис. 62).