5.4.2. Аппроксимация с использованием метода средних

Запрограммируем в Mathcadрешение примера, описываемого зависимостью (15).

1. Если решение будет записываться в новый файл, то пункты 1–3 следует повторить, иначе продолжать далее.

2. Разобьем экспериментальный массив на 3 группы

3. Сформируем главную матрицу системы уравнений и вектор свободных членов:

4. Решим полученную систему линейных уравнений методом Крамера:

Находим неизвестные коэффициенты:

5. Рассчитаем коэффициент ₀

6. Найдем расчетные значения функции:

7. Рассчитаем погрешность, %:

.

8. Сделаем проверку на равенство суммы невязок нулю

(близко к нулю).

9. Построим экспериментальный и расчетный графики (рис. 32).

Рис. 32. Результаты аппроксимации методом средних

5.4.3. Аппроксимация с использованием метода наименьших квадратов

Запрограммируем в Mathcadрешение примера, описываемого зависимостью (15).

1. Если решение будет записываться в новый файл, то пункты 1–3 на с.71–72 следует повторить, иначе продолжать со следующего ниже пункта.

2. Сформируем главную матрицу системы уравнений и вектор свободных членов:

3. Решим полученную систему линейных уравнений методом Крамера:

Найдем неизвестные коэффициенты:

,

.

4. Рассчитаем коэффициент ₀

.

5. Найдем расчетные значения функции:

6. Рассчитаем погрешность, %:

,

,

.

7. Построим экспериментальный и расчетный графики (рис. 33).

Рис. 33. Результаты аппроксимации методом наименьших квадратов

5.4.4. Сравнительный анализ методов аппроксимации

Проведем сравнительный анализ трех использованных методов аппроксимации.

1. Построим графики по всем методам на одной координатной сетке (рис. 34). Из графиков, полученных по методу выбранных точек, выберем тот, у которого меньше погрешность

Рис. 34. Результаты аппроксимации (ye– экспериментальные данные,yvt– данные по методу выбранных точек,ysr– данные по методу средних,ymnk– данные по методу наименьших квадратов)

2. Сравним рассчитанные погрешности

Для метода выбранных точек

.

Для метода средних

.

Для метода наименьших квадратов

.

Как видно, для данного примера метод наименьших квадратов оказался самым точным.

5.5. Требования к отчету

Отчет о работе должен содержать название работы, цель, постановку задачи, исходные данные, математическую формулировку (подробный вывод для своего варианта задания), 3 схемы алгоритмов, 3 листинга программ, 3 распечатки результатов, графики экспериментальных и расчетных кривых, анализ полученных результатов (доказательство корректности полученных результатов, сравнение использованных методов по сложности, точности). Отчет оформляется в печатном виде на листах формата А4. Титульный лист оформляется в соответствии с требованиями академии.

5.6. Контрольные вопросы и задания

1. Сформулировать задачу аппроксимации.

2. В чем заключается отличие и сходство задач аппроксимации и интерполирования?

3. Привести примеры области применения задач аппроксимации и интерполирования.

4. Сформулировать условие аппроксимации.

5. Как привести нелинейную математическую модель к линейному виду?

6. Осуществить аппроксимацию методом выбранных точек.

7. Осуществить аппроксимацию методом средних.

8. Осуществить аппроксимацию методом наименьших квадратов.

5.7. Задания

Варианты 1.1 – 1.3

Вязкость пластичной жидкости находится по следующей формуле:

,

где ₀– напряжение внутреннего трения, при котором пластичная жидкость начинает движение, Н/м²;d– диаметр проходного сечения, м;- средняя скорость жидкости, м/c;– коэффициент пропорциональности, характеризующий пластичные свойства жидкости.

Определить ₀и, если известно, чтоd=0.2 м и в ходе исследования получены следующие экспериментальные данные:

Номер варианта	Экспериментальные данные									Метод решения системы линейных уравнений
	i	1	2	3	4	5	6	7	8
1.1		0.2	0.25	0.4	0.6	0.7	0.75	0.9	-	Крамера
		992	840	640	460	390	380	350	-
1.2		0.3	0.4	0.7	0.9	1.2	1.4	1.5	1.7	Гаусса
		175	158	140	138	134	130	128	130
1.3		0.25	0.5	0.6	1	1.5	2	2.75	4	Обращения матриц
		7200	3533	2800	1900	1200	900	700	500

Варианты 1.4 – 1.6

Эффективную скорость газа, соответствующую началу подвисания жидкости при прохождении газа через нее, можно найти по числу Рейнольдса, определяемого по формуле:

,

где Ar –критерий Архимеда, соответствующий эквивалентному диаметру насадки и плотности газа;W_gиW_f– скорости газа и жидкости, кг/ч;и– константы.

Определить и, если известно, чтоW_g=12300 кг/ч,Ar=46 и в ходе исследования получены следующие экспериментальные данные:

Номер варианта	Экспериментальные данные									Метод решения системы линейных уравнений
	i	1	2	3	4	5	6	7	8
1.4	Wf	5	10	20	25	30	50	60	80	Обращения матриц
	Re	1700	1000	800	700	700	500	460	400
1.5	Wf	2	5	10	30	60	90	100	-	Гаусса
	Re	3500	1900	1000	500	300	200	200	-
1.6	Wf	2	7	15	40	70	80	-	-	Крамера
	Re	9900	1700	50	10	15	10	-	-

Варианты 1.7 – 1.9

Постоянная составляющая помехи в электрической сети описывается следующей математической моделью:

где ₁и₂– угловые скорости, рад/с;t– время, с;U– напряжение, В;₀,₁,₂– константы.

Определить ₀,₁,₂, если известно, что₁=5 рад/с,₂=10 рад/с и в ходе исследования получены следующие экспериментальные данные:

Номер варианта	Экспериментальные данные									Метод решения системы линейных уравнений
	i	1	2	3	4	5	6	7	8
1.7	t	0.1	0.5	0.6	0.8	1.1	1.4	1.6	1.8	Обращения матриц
	U	25	18	-16	-5	10	22	-2	-20
1.8	t	0.2	0.3	0.5	0.8	0.9	1	1.2	1.4	Гаусса
	U	50	32	4	27	30	30	43	60
1.9	t	0.1	0.2	0.4	0.8	0.9	1	1.2	1.5	Крамера
	U	3.2	3.3	2.7	3.1	3.05	2.9	3	3.2

Варианты 1.10 -1.13

Изменение температуры в зависимости от времени в трубчатом реакторе можно описать следующей математической моделью:

,

где t– время, с; Т -температура реакционной массы, К;₀, ₁,₂ – константы.

Определить₀,₁,₂, если известно, что в ходе исследования получены следующие экспериментальные данные:

Номер варианта	Экспериментальные данные									Метод решения системы линейных уравнений
	i	1	2	3	4	5	6	7	8
1.10	t	10	40	50	70	80	90	100	-	Крамера
	T	292	300	302	305	310	315	320
1.11	t	5	10	30	40	60	80	90	100	Обращения матриц
	T	300	301	300.5	300.5	299	295	293	290
1.12	t	1	5	10	15	20	40	80	100	Гаусса
	T	330	335	348	352	360	370	385	390
1.13	t	1	5	10	15	20	40	-	-	Обращения матриц
	T	300	297	297	300	301	305	-	-

Варианты 2.1 -2.3

Константа скорости химической реакции подчиняется закону Аррениуса:

,

где k₀– постоянная скорости химической реакции; Т –температура реакционной массы, К;E– энергия активации, кДж/моль;R = 8.32 универсальная газовая постоянная, кДж/(Кмоль).

Определить k₀и E, если известно, что в ходе исследования получены следующие экспериментальные данные:

Номер варианта	Экспериментальные данные									Метод решения системы линейных уравнений
	i	1	2	3	4	5	6	7	8
2.1	T	277.5	282	285	290	292	295	297.5	-	Обращения матриц
	K	1238	1239	1239.5	1240	1239.8	1240.5	1241	-
2.2	T	267	270	275	280	290	292.5	297	300	Гаусса
	K	960	963	967	967	972	972	975	976
2.3	T	250	255	262	270	277	287	295	-	Крамера
	K	4250	4166	4189	4205	4232	4255	4280	-

Варианты 2.4 -2.9

Зависимость максимальной ньютоновской вязкости полимера в растворе без учета средневязкостного молекулярного веса и коэффициента полидисперсности полимера выглядит следующим образом:

,

где Т –температура реакционной массы, К;R = 8.32 универсальная газовая постоянная, кДж/(Кмоль);C_p– концентрация полимера, безразм.;a1,a2,a3, – константы; А – поправочный коэффициент ед. измерения, Пас.

а) Определить значения констант a1,a2,a3 приТ=300 К, А = 0.51 Пас, если известны следующие экспериментальные данные

Номер варианта	Экспериментальные данные									Метод решения системы линейных уравнений
	i	1	2	3	4	5	6	7	8
2.4	Cp	0.05	0.2	0.4	0.6	0.8	0.9	0.95	-	Гаусса
	0	0.1	0.3	0.6	0.9	1.2	1.5	1.5	-
2.5	Cp	0.1	0.2	0.3	0.4	0.7	0.8	0.9	-	Крамера
	0	2	3.5	5.1	6	8.5	9	9.4	-
2.6	Cp	0.05	0.15	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.9	Обращения матриц
	0	4	9	16	18	22	25	27	31

б) Определить значения констант А и a3 приC_p=0.5, a1=1.9,a2=2.7, если известны следующие экспериментальные данные

Номер варианта	Экспериментальные данные									Метод решения системы линейных уравнений
	i	1	2	3	4	5	6	7	8
2.7	Т	260	275	280	285	290	310	320	340	Крамера
	0	7	5	4	3.5	3	2	1.8	1
2.8	Т	255	270	290	300	320	330	350	-	Обращения матриц
	0	14	12	9	9	7	7	5	-
2.9	Т	280	285	305	320	330	340	350	-	Гаусса
	0	17	17	15	14	14	14	13.5	-

Варианты 2.10 – 2.13

Постоянная составляющая помехи в электрической сети описывается следующей математической моделью:

,

где ₁– угловая скорость, рад/с;t– время, с;U– напряжение, В;₀,₁,₂– константы.

Определить ₀,₁,₂, если известно, что₁=15 рад/с и в ходе исследования получены следующие экспериментальные данные:

Номер варианта	Экспериментальные данные									Метод решения системы линейных уравнений
	i	1	2	3	4	5	6	7	8
2.10	t	0.05	0.15	0.2	0.3	0.7	0.8	0.85	0.9	Крамера
	U	12	15	7	-5	0	5	15	25
2.11	t	0.1	0.15	0.2	0.3	0.4	0.5	0.55	-	Гаусса
	U	12	12	10	5	14	25	27	-
2.12	t	0.05	0.1	0.25	0.4	0.6	0.65	0.8	-	Крамера
	U	-7	-3	2	10	22	22	32	-
2.13	t	0	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	1	Обращения матриц
	U	30	24	24	18	14	12	12	0