10.2. Порядок выполнения работы

1. Изучить методические указания и ответить на контрольные вопросы.

2. Получить у преподавателя номер варианта.

3. В соответствии с заданием решить дифференциальное уравнение 1-го порядка 4-я методами, с этой целью представить математическую формулировку решения для всех изучаемых методов, составить блок-схему алгоритма решения и написать программу в среде СИ++ или Mathcad.

4. Отладить программу и получить результаты расчетов.

5. Результаты расчетов представить в виде таблиц и графиков.

6. Провести проверку полученного решения с помощью встроенной в Mathcad функции rkfixed.

7. Провести анализ полученных результатов (дать сравнительную характеристику использованных методов по сложности реализации, точности).

8. Оформить отчет.

10.3. Краткие теоретические сведения

Пусть имеется дифференциальное уравнение вида:

. (101)

Необходимо решить уравнение (101) на интервале [a, b]. Начальные условия:x(0)=x₀.

Численный метод позволяет осуществить расчет последовательности значений функции f(x,t)путем организации итерационного процесса, где последующее значение функции будет рассчитываться через предыдущее.

10.3.1. Метод Эйлера

Необходимо решить уравнение (101): . Представим функциюx(t)дискретно с интервалом дискретизацииΔt(рис. 86).– две стоящие рядом точки дискретизации. Проведем в точкекасательнуюIк функцииx(t). Осуществим вывод формулы для расчета функцииx(t).

Рис. 86. Иллюстрация к методу Эйлера

Согласно рис. 86:

, (102)

где x_i,x_i+1– текущая и последующая точки функцииx(t)соответственно;

Δx– приращение функцииx(t)на интервалеΔt.

Величину Δxнайдем из прямоугольного треугольника с углом:

. (103)

Геометрический смысл первой производной функции: тангенс угла наклона касательной к функции x(t) в точкеравен первой производной функцииx(t) в этой точке. Поэтому:

. (104)

В результате получим формулу Эйлера:

. (105)

Пример. Для уравнения запишем формулу расчета функцииx(t) согласно методу Эйлера:

.

Метод Эйлера наиболее прост в реализации, но дает большую погрешность в вычислениях, которую можно понизить путем уменьшения шага дискретизации Δt.

10.3.2. Модифицированный метод Эйлера

Необходимо решить уравнение (101): . Проведем в точкекасательнуюIк функцииx(t)(рис. 87).

Она пройдет под углом . Разделим интервал дискретизацииΔtпополам с помощью точкиt_i+1/2. Точку пересечения касательнойIс вертикальюt_i+1/2назовем промежуточной точкойx_i*.

Если предположить, что функция x(t) проходит через промежуточную точку (x_i*,t_i+1/2), то в ней также можно построить касательнуюIIк функцииx(t). КасательнаяIIпройдет под углом.

Через точку (x_i,t_i) проведем прямуюIIIпараллельно прямойII. Она тоже пройдет под углом.

Точка пересечения прямой IIIс вертикальюt_i+1представляет собой следующую искомую точку (x_i+1,t_i+1) функцииx(t).

Осуществим вывод формулы для расчета функции x(t).

Рис. 87. Иллюстрация к модифицированному методу Эйлера

Согласно рис. 87:

,

где x_i,x_i+1– текущая и последующая точки функцииx(t)соответственно;

Δx– приращение функцииx(t)на интервалеΔt.

Величину Δxнайдем из прямоугольного треугольника с углом:

. (106)

Согласно геометрическому смыслу первой производной функции:

, (107)

, (108)

. (109)

Величину Δx*найдем из прямоугольного треугольника с углом:

. (110)

Согласно геометрическому смыслу первой производной функции:

. (111)

Подставив все полученные значения в исходную формулу, получим формулу метода Эйлера модифицированного:

. (112)

Пример. Для уравнения запишем формулу расчета функцииx(t) согласно модифицированному методу Эйлера:

.