5.3.3. Метод наименьших квадратов

Параметры a₁, a₂  , a_k аппроксимирующей зависимости (12) находятся, исходя из следующегоусловия (сумма квадратов невязок между экспериментальными и расчетными данными на всем интервале аппроксимации должна быть минимальна, рис. 29):

, (21)

где y_i^э – экспериментальные данные;

– расчетные данные;

i – порядковый номер точки;

m– число экспериментальных точек.

Рис. 29. Метод наименьших квадратов

(ye – экспериментальные данные, ymnk– расчетные данные)

Поскольку критерий R(a₁, а₂, , a_k)является функцией неизвестных параметров, его использование позволяет получить из условия (21) систему уравнений, в которой число неизвестных равно числу уравнений.

Условием существования экстремума (в нашем случае минимума) функции нескольких переменных является равенство нулю частных производных по каждой из переменных. Поэтому для приведения системы (21) к виду, удобному для решения, необходимо найти частные производные функции Rпо каждой из переменныхa₁, а₂, , a_k:

. (22)

Коэффициенты зависимости (12) получают в результате решения системы уравнений (22).

Для примера выберем ту же зависимость (13)

.

Необходимо найти неизвестные параметры a₀, a₁, a₂. Для этого запишем условие (21):

и вычислим частные производные:

,

преобразуем:

. (22)

Решение полученной системы уравнений (22) относительно неизвестных параметров a₀, a₁, a₂ позволяет найти параметры аппроксимирующей зависимости.

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для нахождения параметров зависимости (15)

.

Как и в предыдущем методе, приведем зависимость (15) к линейному виду относительно неизвестных коэффициентов:

.

Тогда вместо зависимости (21)

в качестве условия поиска коэффициентов используем

или

(23)

Вычислим частные производные

преобразуем:

(24)

Решим систему (24) относительно А₀ a₁, a₂и рассчитаем коэффициента₀:

.

5.4. Примеры выполнения

5.4.1. Аппроксимация с использованием метода выбранных точек

Запрограммируем в Mathcadрешение примера, описываемого зависимостью (15).

1. Задаем системной переменной значение 1.

2. Задаем количество экспериментальных точек и ранжированную переменную

3. Задаем значения экспериментальных массивов и констант.

4. Задаем 3 произвольные точки (укажем их индексы):

5. Формируем главную матрицу системы уравнений:

6. Формируем вектор свободных членов:

7. Решаем полученную систему линейных уравнений методом Крамера:

Составляем матрицы

Рассчитываем определители

Находим неизвестные коэффициенты:

Внимание!В примере определители рассчитываются с использованием встроенной функции. При расчете собственного задания студент должензапрограммировать расчет определителей самостоятельно, как в лабораторной работе № 1, а встроенные функции использовать для проверки.

8. Рассчитываем коэффициент ₀

9. Находим расчетные значения функции:

и высвечиваем результаты

10. Строим экспериментальный и расчетный графики (рис. 30)

Рис. 30. Результаты аппроксимации методом выбранных точек

(набор точек №1)

11. Находим максимальный и минимальный элемент экспериментального массива

12. Рассчитываем погрешность, %:

13. Выбираем другие 3 точки:

14. Повторяем пункты 5–8. Находим расчетные значения функции и высвечиваем результаты:

15. Рассчитываем погрешность, %:

,

.

16. Строим экспериментальный и расчетные графики, полученные для первого и второго набора точек (рис. 31).

Рис. 31. Результаты аппроксимации методом выбранных точек

(набор точек № 2)

Анализ результатов показывает, что результаты аппроксимации с помощью метода выбранных точек существенно зависят от того, какие точки были выбраны. Кроме того, расчетная кривая обязательно проходит через выбранные экспериментальные точки.