9. Лабораторная работа № 5. Решение систем нелинейных уравнений приближенными методами 174

9.1. Постановка задачи 174

9.2. Порядок выполнения работы 175

9.3. Краткие теоретические сведения 176

9.3.1. Метод Ньютона 177

9.3.2. Метод итераций 181

9.4. Примеры выполнения 184

9.4.1. Метод Ньютона 184

9.4.2. Метод итераций 187

9.5. Требования к отчету 192

9.6. Контрольные вопросы и задания 192

9.7. Задания 193

10. Лабораторная работа № 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка численными методами 197

10. 1. Постановка задачи 197

10.2. Порядок выполнения работы 198

10.3. Краткие теоретические сведения 198

10.3.1. Метод Эйлера 199

10.3.2. Модифицированный метод Эйлера 200

10.3.3. Метод Эйлера-Коши 202

10.3.4. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка 204

10.4. Примеры выполнения 205

10.4.1. Реализация метода Эйлера в математическом редакторе Mathcad 205

10.4.2. Решение обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка с помощью функции rkfixed 207

10.5. Требования к отчету 209

10.6. Контрольные вопросы и задания 209

10.7. Задания 211

11. Лабораторная работа № 7. Численное интегрирование 212

11. 1. Постановка задачи 212

11.2. Порядок выполнения работы 212

11.3. Краткие теоретические сведения 213

11.3. 1. Метод прямоугольников 214

11.3.2. Метод трапеций 216

11.3.3. Метод Симпсона 217

11.3.4. Метод Гаусса первого порядка 217

11.3.5. Метод Гаусса второго порядка 218

11.3.6. Расчет двойного определенного интеграла 219

11.4. Пример выполнения 221

11.5. Требования к отчету 224

11.6. Контрольные задания 224

11.7. Задания 224

12. Лабораторная работа № 8. Моделирование реактора идеального вытеснения для многостадийной химической реакции с линейной кинетикой 226

12. 1. Постановка задачи 227

12.2. Порядок выполнения работы 227

12.3. Краткие теоретические сведения 228

12.3.1. Математическая модель реактора идеального вытеснения 228

12.3.2. Численное решение систем дифференциальных уравнений 229

12.4. Пример выполнения 236

12.5. Проверка расчета с помощью функции rkfixed 244

12.6. Требования к отчету 246

12.7. Контрольные вопросы и задания 247

12.8. Задания 247

13. Лабораторная работа № 9. Расчет моделей процессов диффузии и теплопроводности с помощью явной разностной схемы 249

13. 1. Постановка задачи 249

13.2. Порядок выполнения работы 249

13.3. Краткие теоретические сведения 250

13.3.1. Вывод уравнения диффузии для неподвижной среды 250

13.3.2. Решение уравнений в частных производных 252

13.3.3.Метод сетки 255

13.3.4. Явная разностная схема 258

13.3.5. Условия устойчивости явной разностной схемы 260

13.4. Пример выполнения 263

13.5. Требования к отчету 267

13.6. Контрольные вопросы и задания 268

13.7. Задания 268

Библиографический список 273

Предисловие

Учебное пособие предназначено для студентов 3 и 4 курса очного и заочного отделения, обучающихся по направлениям 220300 – «Автоматизированные технологии и производства» (специальность 220301 – «Автоматизация технологических процессов и производств (в пищевой и химической промышленности)») и 220200 – «Автоматизация и управление» (специальность 220201 – «Управление и информатика в технических системах»).

Пособие посвящено изучению методов вычислительной математики, а также применению изученных методов к решению задач, возникающих при создании автоматизированных систем управления технологическими процессами (АСУТП) пищевой и химической промышленности. Содержит примеры их реализации с помощью математического пакета прикладных программ Mathcad, а также краткие сведения о работе с пакетом.

Пособие состоит из двух частей. В первой рассматриваются основы работы в среде Mathcad, процесс организации вычислений, построения графиков, программирования, а также осуществляется знакомство читателя с понятием математического моделирования, численных методов, этапами решения задачи на компьютере. Вторая часть состоит из 13 лабораторных работ, посвященных решению задач АСУТП с использованием численных методов (задач интерполирования, аппроксимации, интегрирования, решения систем алгебраических, дифференциальных уравнений). Затронуты вопросы моделирования объектов управления. Даются теоретические основы применяемых методов, а также примеры решения задач в среде Mathcad.

Пособие развивает навыки решения практических задач, рекомендуется для использования при выполнении лабораторных работ.