11.4. Пример выполнения

Рассмотрим процесс расчета двойного интеграла методом левых прямоугольников по внешнему и внутреннему контуру.

.

Расчет проведем в среде Mathcad.

1. Сначала зададим вид функции двух переменных:

.

2. С помощью символьных вычислений получим аналитическое значение неопределенного интеграла нашей функции:

3. Зададим пределы интегрирования по внутреннему и внешнему контуру:

4. Рассчитаем с помощью Mathcad значение определенного интеграла (точное). С этой величиной сравним результат, полученный численным методом.

5. Зададим шаг разбиения интервалов интегрирования по внутреннему и внешнему контурам:

6. Используя заданные значения шагов, рассчитаем число точек, на которое разбиваются интервалы:

7. Используя инструменты программирования Mathcad, составим подпрограмму расчета двойного интеграла согласно методу левых прямоугольников.

Расчет проводится путем организации вложенных циклов. Внутренний цикл (по параметру i) предназначен для расчета площади под кривой, ограниченной функциейF(x,y), а также прямымиx=aиx=bпри фиксированном значении y. Внешний цикл (по параметруj) предназначен для расчета объема под криволинейной поверхностью, ограниченной функциейF(x,y), а также четырьмя плоскостями, образуемыми пределами интегрирования (a,b,c,d).

8. Рассчитаем интеграл. Для этого осуществим вызов функции расчета интеграла с передачей в нее заданных параметров:

9. Сравним полученный результат с результатом, полученным в пункте 4 (они должны быть приблизительно равны).

10. С помощью Mathcad строим график «Столбиковая диаграмма», отражающий вид функции F(x,y), используемой для расчета интеграла (рис. 97). С помощью опции QuickPlotData, вызываемой двойным нажатием мыши на построенной диаграмме, устанавливаем диапазоны интегрирования (Range1 и Range2), определяемые численными значениямиa,b,c,d.

Рис. 97. Диаграмма, отражающая функцию F(x,y)в заданных

пределах интегрирования

11.5. Требования к отчету

Отчет о работе должен содержать название работы, цель, постановку задачи, исходные данные, математическую формулировку (подробный вывод для своего варианта задания), схему алгоритма, листинг программы, распечатку результатов, анализ полученных результатов. Отчет оформляется в печатном виде на листах формата А4. Титульный лист оформляется в соответствии с требованиями академии.

11.6. Контрольные задания

1. Сформулировать метод правых прямоугольников.

2. Сформулировать метод левых прямоугольников.

3. Сформулировать метод Трапеций.

4. Сформулировать метод Симпсона.

5. Сформулировать метод Гаусса первого порядка.

6. Сформулировать метод Гаусса второго порядка.

7. Составить алгоритм расчета одинарного и двойного интеграла с комбинированным использованием численных методов при интегрировании по разным переменным.

1 Таблица 101.7. Задания

Номер	Интеграл	Аргумент	Шаг	Метод интегрирования	Контур
1.1		x y	0.1 0.05	Правых прямоуг. Трапеций	Внутренний Внешний
1.2		x y	0.05 0.1	Трапеций Левых прямоуг.	Внутренний Внешний
1.3		x y	0.2 0.1	Трапеций Левых прямоуг.	Внутренний Внешний
1.4		x y	0.1 0.05	Левых прямоуг. Правых прямоуг.	Внутренний Внешний
1.5		x y	0.01 0.02	Правых прямоуг. Гаусса 1-го порядка	Внутренний Внешний
1.6		x y	0.05 0.1	Трапеций Гаусса 1-го порядка	Внутренний Внешний
1.7		x y	0.1 0.1	Трапеций Симпсона	Внутренний Внешний
1.8		x y	0.1 0.05	Левых прямоуг. Правых прямоуг.	Внутренний Внешний
1.9		x y	0.05 0.1	Трапеций Симпсона	Внутренний Внешний
1.10		x y	0.1 0.05	Трапеций Правых прямоуг.	Внутренний Внешний
1.11		x y	0.05 0.05	Гаусса 1-го порядка Правых прямоуг.	Внутренний Внешний
1.12		x y	0.1 0.05	Правых прямоуг. Симпсона	Внутренний Внешний
1.13		x y	0.2 0.1	Левых прямоуг. Гаусса 1-го порядка	Внутренний Внешний

Окончание табл. 10

Номер	Интеграл	Аргумент	Шаг	Метод интегрирования	Контур
2.1		x y	0.2 0.1	Симпсона Гаусса 1-го порядка	Внутренний Внешний
2.2		x y	0.2 0.1	Правых прямоуг. Трапеций	Внутренний Внешний
2.3		x y	0.1 0.2	Трапеций Гаусса 1-го порядка	Внутренний Внешний
2.4		x y	0.1 0.2	Левых прямоуг. Гаусса 1-го порядка	Внутренний Внешний
2.5		x y	0.05 0.1	Правых прямоуг. Трапеций	Внутренний Внешний
2.6		x y	0.1 0.05	Симпсона Трапеций	Внутренний Внешний
2.7		x y	0.05 0.05	Гаусса 1-го порядка Трапеций	Внутренний Внешний
2.8		x y	0.1 0.05	Левых прямоуг. Гаусса 1-го порядка	Внутренний Внешний
2.9		x y	0.1 0.1	Трапеций Гаусса 1-го порядка	Внутренний Внешний
2.10		x y	0.05 0.1	Правых прямоуг. Симпсона	Внутренний Внешний
2.11		x y	0.1 0.1	Гаусса 1-го порядка Трапеций	Внутренний Внешний
2.12		x y	0.1 0.05	Гаусса 1-го порядка Левых прямоуг.	Внутренний Внешний
2.13		x y	0.05 0.1	Правых прямоуг. Симпсона	Внутренний Внешний