8.4. Пример выполнения задания методом итераций

1. Задаем ранжированную переменную

2. Задаем вид функции f(x), строим её график (рис. 63)

Рис. 63. График функции f(x)

3. По рис. 63 проводим отделение корней.

В результате график выглядит так (рис. 64):

Рис. 64. График функции f(x) на интервале [a, b]

4. Задаем вид функции (x)и получаем её вид, а также вид её производной в символьном виде

5. Задаем значение константы mсначала равным единице:

6. Строим график функции (x)(рис. 65)

Рис. 65. График функции (x) на интервале [a, b] приm=1

7. Как видно, значения графика превышают единицу, т. е. условие (64) не выполняется. Поэтому подберем значение коэффициента m. Для этого строим график функции f(x)(рис. 66).

Рис. 66. График функции f(x) на интервале [a, b]

8. По графику получаем значение М=f(1,5)2,75, определяющее максимальное значение функцииf(x)на интервалеa; b.Для более точного определения значения M задаем функцию

и находим значение этой функции на конце отрезка

,

.

9. Принимаем значение константы m.

,

.

10. Строим график функции mf(x). Для всехх1; 1,5функцияmf(x)удовлетворяет условию (67) (рис. 67).

Рис. 67. График функции mf(x) на интервале [a, b]

11. Задаем еще раз функцию (x)и получаем её вид, а также вид её производной в символьном виде с новым значениемm. Строим график(x) (рис. 68). Теперь условие сходимости (64) выполняется.

Рис. 68. График функции (x) на интервале [a, b] при уточненном значенииm

12. Будем искать точку пересечения функций (x)=x m(sin(2x)  ln(x))иg(x)=x (рис. 69).

Рис. 69. Поиск корня по функциям (x) иg(х)

13. Теперь перейдем к уточнению корня методом итераций. Задаем степень точности решения и начальную точку.

14. Пишем программу согласно алгоритму рис. 61. Здесь используется бесконечный цикл, выход из которого осуществляется с помощью оператора breakпри достижении заданной степени точности. Результаты возвращаются в виде вектораz, их слияние осуществляется функциейstack.

Кореньxk=1.399 найден за 4 итерации.

15. Производим проверку решения (результат близок к нулю, следовательно, корень уравнения f(x)=0 найден верно).

8.5. Требования к отчету

Отчет о работе должен содержать название работы, цель, постановку задачи, исходные данные, математическую формулировку (подробный вывод для своего варианта задания), 3 схемы алгоритмов, 3 листинга программ, 3 распечатки результатов, графики, анализ полученных результатов (доказательство корректности полученных результатов, сравнение использованных методов по сложности, точности). Отчет оформляется в печатном виде на листах формата А4. Титульный лист оформляется в соответствии с требованиями академии.

8.6. Контрольные вопросы и задания

1. Составить схему алгоритма решения нелинейного уравнения методом деления отрезка пополам.

2. Составить схему алгоритма решения нелинейного уравнения методом Ньютона.

3. Составить схему алгоритма решения нелинейного уравнения методом простых итераций.

4. По какому принципу выбирается следующий отрезок уточнения в методе деления отрезка пополам?

5. По какому принципу выбирается начальное приближение при решении нелинейного уравнения методом Ньютона?

6. Привести нелинейное уравнение к нормальному виду так, чтобы выполнялось условие сходимости при решении методом простых итераций.

7. Вывести условие сходимости при решении методом простых итераций.

8. Вывести формулу определения величины шага приближения при решении нелинейного уравнения методом Ньютона.

9. Дать сравнительную характеристику трех методов.