11.3. Краткие теоретические сведения

Пусть необходимо вычислить определенный интеграл , причем функцияf(x)задана либо таблично, либоf(x)достаточно сложна, чтобы вычислить интеграл с помощью специальных аналитических методов.

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении значения определенного интеграла по ряду значений подынтегральной функции, т. е. составлении интегральной суммы. Чем меньше интервалы разбиения (больше число узловых точек, т. е. точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции), тем точнее будет вычислен интеграл. Для функции, заданной таблично, число узловых точек фиксировано, и задача вычисления интеграла обычно сводится к замене этой функции на рассматриваемом отрезке интерполирующей функцией простого вида, интеграл от которой вычисляется непосредственно.

Для аналитически заданных функций возможны два способа выбора точек разбиения исходного интеграла: либо число точек или интервалов фиксируются заранее, либо число и величина интервалов определяются в процессе вычисления интеграла в зависимости от заданной точности. В обоих случаях исходная функция на каждом интервале также аппроксимируется соответствующей зависимостью.

Геометрическая интерпретация определенного интеграла: если f(x) 0на [a,b], топредставляет собой площадь области, ограниченной осьюx, графикомf(x) и прямымиx=аи x=b(рис. 90).

Существует много различных методов численного интегрирования. Большинство из них основано на представлении интеграла в виде:

, (119)

где А_i– const. Наиболее часто используемым является метод прямоугольников.

Рис. 90. Геометрическая интерпретация интеграла

11.3. 1. Метод прямоугольников

Пусть функцияf(x)задана таблично, необходимо найтиГрафик функцииf(x)можно представить на плоскостиf(x)иx(рис. 91).

Рис. 91. График функции f(x)

Условия интерполирования обозначим следующим образом:

. (120)

где n– число интервалов разбиения.

Каждому узлу интерполирования в соответствии с табличным заданием функции f(x)поставлено в соответствие следующее значение:

y₀ = f(x₀)

 (121)

y_n = f(x_n)

Определенный интеграл представляет собой сумму площадей под кривой f(x)на каждом шаге интерполирования:

. (122)

Площадь S_iможно приблизительно определить как площадь прямоугольника, образованного координатойf(x_i)и шагом интерполированияh.

S₁f(x₀)h

S₂f(x₁)h

 (123)

S_nf(x_n)h.

В результате общая площадь Sопределяется как сумма всех площадей, т. е.

(124)

Формула (124) формулалевыхпрямоугольников.

Существует еще и формула правыхпрямоугольников:

. (125)

Уменьшение шага интерполирования hведет к возрастанию точности интегрирования методом прямоугольников.

11.3.2. Метод трапеций

Элементарную площадь S_iбудем считать как площадь трапеции (рис. 92), образованной 2-я ординатами и шагом интерполирования.

,

,



,

Рис. 92. Метод трапеций

Формула метода трапеций выглядит так:

(126)

Как видно из формулы (126), на интервале от 1-й до n–1-й точки расчет ведется аналогично методу прямоугольников, т. к., согласно формуле трапеций, каждая ½ частьf(x_i)суммируется дважды (наi-ом иi+1-ом шаге).

11.3.3. Метод Симпсона

Метод Симпсона основан на том, что через три ординаты на конце двух соседних интервалов проводится парабола (рис. 93), полученные при этом площади складываются.

В отличие от предыдущих методов, отрезок [а, b] должен делиться начетноечисло интервалов.

Рис. 93. Метод Симпсона

Формула Симпсона имеет вид:

(127)

Как видно из формулы (127), на интервале от 1 до n/2 точки суммируются значения функцииf(x_i)в четных и нечетных порядковых номерах аргумента.

11.3.4. Метод Гаусса первого порядка

Согласно методу Гаусса первого порядка (рис. 94), элементарная площадь (S_i)ограничивается по горизонтали – осьюхи прямойf(x*), по вертикали прямымиx_i-1 иx_i, т. е.

, (128)

где h– шаг интерполирования,x*- середина отрезка(x_i-1, x_i):

или (129)

. (130)

Тогда общая площадьSопределяется как сумма всех элементарных площадей, т. е.

или. (131)

Рис. 94. Метод Гаусса первого порядка

11.3.5. Метод Гаусса второго порядка

В методе Гаусса второго (рис. 95) порядка элементарная площадь (S_i) определяется по следующей зависимости:

, (132)

Рис. 95. Метод Гаусса второго порядка

где ,

или ,.

Тогда общая площадь Sопределяется как сумма элементарных площадей, т. е.:

. (133)

11.3.6. Расчет двойного определенного интеграла

Пусть имеется функция двух переменных f(x, y). Необходимо вычислить определенный интеграл

.

В этом случае геометрическая интерпретация определенного интеграла такова – если f(x,y) 0приx[a,b] иy[c,d], то интеграл представляет собой объем области, ограниченной плоскостямиxoy, x=а, x=b,y=c, y=dи графикомf(x,y)(рис. 96).

Разобьём интервал [a,b] на конечное число участков с шагомhx, а интервал [c,d] – с шагомhy. Если зафиксироватьy=c, то получим плоскую фигуру, как на рис. 90. Её площадьS1 можно рассчитать как сумму элементарных площадей по рассмотренным выше методам, например, по методу трапеций. Если умножить полученную площадь на величинуhy, то получим элементарный объёмV1. Затем фиксируемy=c+hy, т. е. берем следующее сечение. Рассчитываем площадь полученной фигурыS2 опять по методу трапеций. Эта площадь будет отличаться от предыдущей, т. к. функцияf(x,y)чаще всего нелинейна. Также умножаем значение площади на величинуhy, т. е. получаем второй элементарный объемV2, и суммируем его с предыдущим. Повторяем описанные действия, пока не пройдем весь интервал [c,d]. В результате получим объем, численное значение которого соответствует величине искомого определенного двойного интеграла.

В данном случае внутренний контур (по переменной x) рассчитывался методом трапеций, а внешний (по переменнойy) – методом левых прямоугольников.

Для расчета внутреннего и внешнего контуров можно использовать любой из рассмотренных выше методов. При этом нужно помнить, что при расчете внутреннего контура вычисляется площадь, для чего используются значения функции f(x,y)при фиксированномy. При расчете внешнего контура вычисляется объем, для чего используются значения площадей, полученные во внутреннем контуре.

Например, если для расчета внешнего контура использовать метод трапеций, то первый элементарный объем V1 вычисляется согласно формуле (126) так:

Рис. 96. Геометрическая интерпретация определенного

двойного интеграла