10.3.3. Метод Эйлера-Коши

Необходимо решить уравнение (101): . Проведем в точкекасательнуюIк функцииx(t)(рис. 88). Она пройдет под углом. Пересечение касательнойIс вертикальюt_i+1 назовем промежуточной точкойx_i*.

Если предположить, что функция x(t) проходит через промежуточную точку (x_i*,t_i+1), то в ней также можно построить касательнуюIIк функцииx(t). КасательнаяIIпройдет под углом .

Проведем через точку (x_i*,t_i+1) прямуюIIIпод угломтак, чтобы выполнялось равенство:

.

Через точку (x_i,t_i) проведем прямуюIVпараллельно прямойIII. Она тоже пройдет под углом. Точка пересечения прямойIVс вертикальюt_i+1представляет собой следующую искомую точку (x_i+1,t_i+1) функцииx(t).

Осуществим вывод формулы для расчета функции x(t).

Согласно рис. 88:

,

где x_i,x_i+1– текущая и последующая точки функцииx(t)соответственно;

Δx– приращение функцииx(t)на интервалеΔt.

Рис. 88. Иллюстрация к методу Эйлера-Коши

Величину Δxнайдем из прямоугольного треугольника с углом:

. (113)

При малых отклонениях углов иможно воспользоваться формулой:

. (114)

Согласно геометрическому смыслу первой производной функции:

,

. (115)

Согласно рис. 88:

,.

Величину Δx*найдем из прямоугольного треугольника с углом:

. (116)

Подставив все полученные значения в исходную формулу, получим формулу метода Эйлера-Коши:

. (117)

Пример. Для уравнения запишем формулу расчета функцииx(t) согласно методу Эйлера-Коши

10.3.4. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка

Данный метод заключается в том, что рассчитывается последовательность точек функции x(t), причем приращения функции рассчитываются путем усреднения промежуточных коэффициентовК₁,К₂,К₃иК₄:

(118)

где ,

,

,

.

Пример. Для уравнения запишем формулу расчета функции x(t) согласно методу Рунге-Кутта 4-го порядка:

10.4. Примеры выполнения

10.4.1. Реализация метода Эйлера в математическом редактореMathcad

В математическом редактореMathcadсоставим программу, позволяющую получить решение рассмотренного ранее уравнения.

1. Введем интервал, на котором необходимо решить уравнение:

.

2. Зададим шаг дискретизации: dt:=0.1.

3. Введем начальное условие: x0:= 0.

4. Рассчитаем число точек дискретизации:

5. Создадим итерационный процесс, который на каждом шаге итерации будет вычислять решение уравнения, соответствующее каждой точке на интервале решения и возвращать значения t иx.

6. Решение уравнения на интервале [1, 5] получим в виде матрицы z, размерностью 2×n, для данного примера 2 столбца и 40 строк. Первый столбец содержит переменную t, второй – переменную x.

10.4.2. Решение обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка с помощью функции rkfixed

Пусть имеется уравнение вида: .

Необходимо найти его решение на интервале [a,b] при начальном условииx(0)=x0.

В математическом редакторе Mathcadсуществует встроенная функция rkfixed, которая сама осуществляет решение методом Рунге-Кутта 4-го порядка. Использовать её необходимо следующим образом.

Сначала задаются параметры, которые будут передаваться в указанную функцию:

x0 –вектор начальных условий, в данном случае вектор из одного элемента;

a, b –границы интервала для поиска решения;

n – количество точек на интервале;

D(t,x) –вектор-функция первых производных, в данном случае вектор из одного элемента.

Вызов функции осуществляется так:

rkfixed(x0,a,b,n,D)

Запрограммируем процесс решения.

1. Задаем начальное условие:

2. Вводим правую часть дифференциального уравнения:

В данном случае элемент x₀набирается с использованием кнопки MatrixSubscript (МатрицыНижний индекс) или горячие клавиши Shift+] (или Shift+ъ при русской раскладке клавиатуры)

3. Задаем интервал поиска решения:

4. Задаем шаг дискретизации:

5. Задаем число точек дискретизации:

6. Осуществляем вызов функции и высвечивем результаты:

Матрица Z имеет 2 столбца и 40 строк. Первый столбец содержит переменную t, второй – переменную x. Решение дифференциального уравнения представлено на рис. 89.

Рис. 89. Решение уравнения на интервале [1,5].