Решение

Целевая функция  минимум расхода топлива

Z=0,24P₁ + 0,0008P₁² + 0,16P₂ + 0,0008P₂² + 0,18P₃ + 0,001P₃² min.

Ограничение на потребление суммарной мощности станций:

P₁ + P₂ + P₃ = 600 (1)

Ограничения на располагаемые мощности станций:

50 <= P₁ <= 220 (2)

70 <= P₂ <= 300 (3)

60 <= P₃ <= 250 (4)

Функция Лагранжа для этой задачи выглядит так:

L = Z + *(600  P₁  P₂  P₃)  min (5)

Ниже представлена таблица Excel (табл. 13), в которой приводятся результаты оптимизации энергосберегающего снабжения. Значения мощности тепловых электростанций, вырабатывающих энергию для промышленного узла, определены с точностью двух цифр после запятой.

В третьей строке таблицы 5 вводились начальные значения, равные единице. В этой строке выделенными цифрами показаны оптимальные значения мощностей, полученные в результате моделирования. В ячейку C8 вводилась целевая функция Лагранжа (5). Первоначальное, по мнению экспертов, значение множителя Лагранжа было равно 0,6, а затем было уточнено и составило величину 0,564.

Таблица 13

Таблица Excel нелинейной задачи

	A	B	C	D	Е	F
2		Значения отыскиваемых переменных
3	значения	203,85	203,08	193,08
4	нижнее	50	70	60
5	верхнее	220	300	250
6		Ограничения и целевая функция
7				Левая часть	Знак	Правая часть
8	топливо	V	227,93	минимум
9	мощность	R		600	=	600
10	Расходы топлива на ТЭС
11	ТЭС-1	V1	82,17
12	ТЭС-2	V2	73,73
13	ТЭС-3	V3	72,03

В девятой строке вводилась формула (1)  сумма потребных мощностей. В 11, 12 и 13 строки вводились формулы определения расходов топлива. Двусторонние ограничения (2), (3), (4) на производимые станциями мощности связаны со строками 4 и 5.

Алгоритм решения этой задачи средствами Excel будет таким. Ввод формул (1) и (5)  с клавиатуры. Контроль правильности ввода осуществляется в строке формул.

Ввод ограничений на отыскиваемые переменные (B3, C3, D3) осуществляется следующим образом.

СЕРВИС, ПОИСК РЕШЕНИЯ. В окне Поиск решения установить целевую ячейку $C$8, равной минимальному значению. Изменяемые ячейки: $B$3:$D$3.

Ограничения: B3 => B4; C3 => C4; D3 => D4;

B3 <= B5; C3 <= C5; D3 <= D5;

B3 = 1; C3 = 1; D3 = 1; {первоначально}

D9 = F9.

Формат/ Ячейки/ Число. Назначить две цифры после запятой.

Параметры поиска решения. В информационной строке Линейная модель флажок не ставить, нажать клавишу ОК.

ВЫПОЛНИТЬ. Нажать ОК. На экране окно Результаты поиска решения. Эти результаты показаны в таблице выделенным шрифтом.

Результаты поиска решения содержат отчеты по результатам и по устойчивости. Отчет по устойчивости состоит из двух таблиц.

В первой части таблицы приведены оптимальные значения переменных B3, C3, D3 и значение нормированного градиента (параметра поиска).

Во второй части таблицы приведены значения критерия оптимальности C8 = 227,93 и множителя Лагранжа = 0,564. Последнее значение означает, что при дополнительных потребностях промышленного узла на каждую единицу новой мощности потребуется израсходовать 0,564 тонны топлива.

Подчеркиваем еще раз, что цифры в круглых скобках на рис.5 указывают на минимальные расходы топлива для каждой ТЭС, обеспечивающие оптимальную выработку располагаемых мощностей.

Рассмотренная нелинейная задача оптимизации является представителем целого класса задач энергосберегающих технологий. В данном случае речь шла о сбережении тепловой энергии сжигаемого топлива для производства требуемого количества электрической энергии, используемой в промышленных целях.

Приведем пример, когда функция Лагранжа используется для оценки развития промышленных объектов [1].

Пример. Для каждого из трех реконструируемых заводов известна зависимость капитальных вложений К от планируемого прироста продукции V:

K₁ = 0,1V₁/(5  V₁);

K₂ = 0,15V₂/(6 – V₂);

K₃ = 0,12V₃/(4 – V₃).

Требуется разработать оптимальный план реконструкции с минимальными капитальными затратами, обеспечивающий прирост производства 3 тыс. тонн в год.