Решение
Составим целевую функцию – минимизация капитальных затрат:
F = K1 + K2 + K3 min (1)
Общий прирост производства строго ограничен директивным заданием:
V1 + V2 + V3 = 3 (2)
Составим функцию Лагранжа:
L = F (3 V1 V2 V3 ) min (3).
Подставим значения V1, V2 ,V3 из выражения (2) в (3) и возьмем частные производные функции Лагранжа по переменным Vi, приравняв производные, равными нулю. Тогда получим зависимости, связывающие оптимальные значения Vi* с множителем Лагранжа :
;
; (4)
.
Подставив значения Vi* в ограничения (2), найдем оптимальное значение * = 0,0383 ден. единиц / ед. ресурса. То есть на каждую денежную единицу прироста производства произойдет увеличение вкладываемого капитала на 0,0383 денежные единицы.
Вернувшись к соотношениям (4) и подставив найденную величину *, получим следующие оптимальные значения прироста производства по каждому заводу: V1* = 1,388 тыс. тонн, V2* = 1,154 тыс. тонн, V3* = 1,458 тыс. тонн в год.
Оптимальные значения Vi* входят в целевую функцию (1), минимизирующую капитальные годовые затраты, которые составят около 0,0895 ден. единиц. С учетом реального масштаба исходных данных это составит 89500 денежных единиц капитальных затрат.
Задачи оптимизации производства
В начале темы 4 уже назывались ключевые вопросы, контролирующие развитие экономики. Укажем на важный математический инструментарий, позволяющий сводить задачи условной оптимизации к безусловным задачам: это метод Лагранжа.
Для производственной функции f(x1, x2) любого вида и ограничений в форме равенства (x1, x2) = b конструируется функция Лагранжа:
L(x1, x2, ) = f(x1, x2) +[b (x1, x2)] extr ,
где множитель Лагранжа. Безусловный экстремум этой функции совпадает с условным экстремумом только для точек, удовлетворяющих приведенному условию (x1, x2) = b. Только тогда второе слагаемое функции Лагранжа обращается в нуль. Для остальных точек L(x1, x2, ) f(x1, x2).
Если y, Po – соответственно, общий объем выпуска продукции и ее рыночная цена, то величина дохода будет выражена записью:
R = y Po (1)
При известных ценах р1, р2 и объемах затраченных ресурсов x1, x2 издержки производства составят:
С = р1 x1 + р2 x2 (2)
Величина прибыли – разность дохода и издержек:
Z = R – C = Pof(x1, x2) – (р1 x1 + р2 x2) (3)
Значения объемов ресурсов – неотрицательны. Задача максимизации прибыли в терминах стоимости ресурсов имеет вид:
Z=F(x1,x2)max (4)
Если дополнительные ограничения на ресурсы отсутствуют (что соответствует долгосрочному периоду D), то это задача безусловной оптимизации решается через метод неопределенных множителей функции Лагранжа. Если на объемы используемых ресурсов заданы ограничения типа:
g(x1, x2) b (5),
то оптимизация называется условной.
Прямые линии правой части соотношения (2) называются изокостами. Чем «северо-восточнее» относительно изокосты 1-1 располагаются эти линии, тем больше стоимость затраченных ресурсов – рис.6. На рис.6 видно, что тангенс угла наклона прямой (tg ), касательной к кривой постоянного объема выпуска (изокванты), определяет единственную точку касания. Значение объемов выпуска у2 у1: вместе с ростом объемов выпуска растут и издержки производства.
