- •Тема 1. Математические основы для решения оптимальных задач 12
- •Тема 2. Многокритериальная оптимизация 33
- •Тема 3. Совокупность взаимосвязанных отраслей экономики 38
- •Тема 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики 52
- •Тема 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств 126
- •Тема 10. Поиск наилучших решений методами динамического программирования 137
- •Введение
- •Тема 1. Математические основы для решения оптимальных задач Лекция 1. Математические основы для решения оптимальных задач
- •Условия возникновения двойственности при оптимизации проблемных ситуаций, возникающих в экономике
- •Первая теорема двойственности
- •Вторая теорема двойственности
- •Третья теорема двойственности
- •Контрольные вопросы по введению и теме №1
- •Модель оценки технических возможностей экскаваторов Составление модели
- •Учет в модели дополнительных факторов
- •Основные рыночные характеристики экскаваторов
- •Тема 2. Многокритериальная оптимизация Лекция 2. Многокритериальная оптимизация
- •Контрольные вопросы к теме №2
- •Дополнительная задача
- •Тема 3. Совокупность взаимосвязанных отраслей экономики Лекция 3. Совокупность взаимосвязанных отраслей в экономике
- •Оптимизационная модель Леонтьева с учетом комплектности для выпускаемой продукции по отраслям
- •Разработка модели и анализ результатов
- •Модели динамического межотраслевого баланса Модель экономического роста
- •Оптимизационные динамические модели межотраслевого баланса
- •Динамическая оптимизационная модель накопления капитала
- •Динамическая оптимизационная модель потребления
- •Контрольные вопросы к теме №3
- •Анализ вариантов реконструкции завода
- •Составление модели
- •Тема 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики Лекция 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики
- •Решение
- •Решение
- •Задачи оптимизации производства
- •Функции спроса на ресурсы для долгосрочного периода
- •Функции спроса на ресурсы для краткосрочного периода
- •Динамическая модель оптимального размещения выпускаемой продукции по отраслям промышленного производства (производственно – транспортная модель)
- •Неоклассическая модель экономического роста Солоу
- •Математические основы развития экономики в модели Солоу
- •Математические основы теории трудовой стоимости Модель продаж и рынка одного товара
- •Модель производства множества товаров
- •Величина и стоимость трудовых ресурсов, необходимых для производства множества товаров
- •Контрольные вопросы по теме №4
- •Оптимизация внешнеторгового оборота
- •Оптимизация комплектования и транспортировки ресурсов для производства товаров внутри страны
- •Контрольные вопросы к теме №5
- •Тема 6. Динамические модели инвестиционной деятельности Лекция 6. Динамические модели инвестиционной деятельности
- •Модель инвестиционного менеджмента с учетом экономической конъюнктуры рынка
- •Обозначения.
- •Тема 7. Функциональная модель инвестиционного менеджмента Лекция 7. Функциональная модель инвестиционного менеджмента
- •Постановка задачи
- •Метод моделирования Условия ликвидности
- •Ограничения по производственным мощностям
- •Анализ результатов
- •Целевая функция двойственной задачи
- •Экономическая интерпретация результатов двойственной
- •Особенности модели Ферстнера
- •Тема 8. Динамическая оптимизационная модель конкурса инвестиционных проектов Лекция 8. Динамическая оптимизационная модель конкурса инвестиционных проектов
- •Постановка задачи
- •Метод моделирования
- •Анализ результатов
- •Модель инвестиционного менеджмента (по Албаху)
- •Постановка задачи
- •Условия проекта
- •Метод моделирования
- •Условия производства и сбыта продукции
- •Анализ результатов
- •Контрольные вопросы к темам № 6, 7, 8
- •Тема 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств Лекция 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств
- •Контрольные вопросы по теме №9
- •Пример практического применения нечетких чисел
- •Тема 10. Поиск наилучших решений методами динамического программирования Лекция 10. Поиск наилучших решений методами динамического программирования
- •Алгоритм решения
- •Контрольные вопросы по теме №10
- •Приложение 1 Минимальное возрастание стоимости комплекса работ
- •Указания к выполнению самостоятельной работы
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
- •Математические методы теории принятия решений Курс лекций
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Метод моделирования
Составим ограничения, учитывая структуру поступлений и выплат для каждого из шести месяцев. Выражение (1) отвечает первому условию фирмы и представляет собой целевую функцию. Ограничения (2) – (7) отражают методику учета движения средств: из поступлений каждого последующего месяца вычтены выплаты и добавлены возможные поступления предшествующего месяца.
A1 + B1 + C1 + D1 min (1)
1,015A1 A2 = 0 (2)
1,015A2 A3 + 1,035B1 B3 = 150000 (3)
1,015A3 A4 + 1,06C1 C4 = 0 (4)
1,015A4 A5 + 1,035B3 B5 = 0 (5)
1,015A5 A6 = 0 (6)
1,015A6 + 1,035B5 + 1,06C4 + 1,11D1 = 600000 (7)
Общая формула для определения средневзвешенных рисков будет:
[1Ai + 4Bi + 9Ci + 7Di] : [Ai + Bi + Ci + Di] 6 (M)
В выражении (М) знаменатель – сумма стоимости проектов, поступившая в начале каждого месяца. Числитель – сумма произведений индексов риска соответствующих проектов на их стоимость. Например, для третьего месяца выражение (М) будет записано: [1A3 + 4B3 + 9C1+ 7D1] : [A3 + B3 + C1+ D1] 6.
Ограничения на средневзвешенные риски проектов (для каждого из шести месяцев) составлены в соответствии со вторым условием фирмы и данными табл.27. Их окончательный вид отвечает формулам:
5A1 2B1 + 3C1 + D1 <= 0 (8)
5A2 2B1 + 3C1 + D1 <= 0 (9)
5A3 2B3 + 3C1 + D1 <= 0 (10)
5A4 2B3 + 3C4 + D1 <= 0 (11)
5A5 2B5 + 3C4 + D1 <= 0 (12)
5A6 2B5 + 3C4 + D1 <= 0 (13)
Общая формула для определения среднего срока погашения (возврата фирме денежных средств) включает тот же знаменатель, что и в формуле (М).
Числитель представляет собой сумму произведений для тех же проектов, указанных в знаменателе, на величину длительности. Под длительностью понимается разность между началом рассматриваемого месяца и сроком выплат (возврата денежных средств фирме – инвестору). Например, для третьего месяца (см. табл.28) средний срок возврата составит:
[1A3 + 2B3 + 1C1+ 4D1] : [A3 + B3 + C1+ D1] 2,5
Ограничения на средний срок возврата фирме денежных средств (с процентами за эксплуатацию инвестиционных проектов) составлены в соответствии с третьим условием фирмы и данными табл.27 и табл.28. Окончательный вид этих ограничений отвечает следующим формулам:
1,5A1 0,5B1 + 0,5C1 +3,5D1 <= 0 (14)
1,5A2 1,5B1 0, 5C1 +2,5D1 <= 0 (15)
1,5A3 0,5B3 1,5C1 + 1,5D1 <= 0 (16)
1,5A4 1,5B3 + 0,5C4 + 0,5D1 <= 0 (17)
1,5A5 0,5B5 0,5C4 0,5 D1 <= 0 (18)
1,5A6 1,5B5 1,5C4 1,5 D1 <= 0 (19)
Таким образом, динамическая оптимизационная модель конкурса инвестиционных проектов содержит 13 переменных и 19 ограничений. Структура целевой функции и ограничений совершенно ясна из выражений (1) – (19) и не требует дальнейших пояснений.
Анализ результатов
Анализ полученных результатов предлагается студентам выполнить самостоятельно. Методика такого анализа одинакова с анализом рассмотренной выше модели Ферстнера, но отличается постановкой задачи. Только выполнив анализ, студент сможет правильно ответить на контрольные вопросы, помещенные в конце темы. Для облегчения получения и анализа результатов, ниже приводится перечень действий.
1. Используя информационные ресурсы таблиц 27 и 28, проанализировать правильность выдвинутых фирмой условий.
2. Исходя из структуры математического описания проблемной ситуации, установить нужный способ размещения заданных и отыскиваемых значений переменных в таблице Excel. Установить размерность основных и дополнительных переменных двойственной задачи.
3. Доказать выполнение всех условий фирмы, отраженных в соответствующих соотношениях, и дать разъяснения полученным результатам.
Оценить правильность действий руководства фирмы:
а) по обеспечению экономической надежности конкурса инвестиционных проектов;
б) по обеспечению финансовых обязательств.
До того, как в конце темы 8 будут предложены все вопросы по моделям инвестиционного менеджмента, целесообразно рассмотреть модель Албаха.