- •Тема 1. Математические основы для решения оптимальных задач 12
- •Тема 2. Многокритериальная оптимизация 33
- •Тема 3. Совокупность взаимосвязанных отраслей экономики 38
- •Тема 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики 52
- •Тема 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств 126
- •Тема 10. Поиск наилучших решений методами динамического программирования 137
- •Введение
- •Тема 1. Математические основы для решения оптимальных задач Лекция 1. Математические основы для решения оптимальных задач
- •Условия возникновения двойственности при оптимизации проблемных ситуаций, возникающих в экономике
- •Первая теорема двойственности
- •Вторая теорема двойственности
- •Третья теорема двойственности
- •Контрольные вопросы по введению и теме №1
- •Модель оценки технических возможностей экскаваторов Составление модели
- •Учет в модели дополнительных факторов
- •Основные рыночные характеристики экскаваторов
- •Тема 2. Многокритериальная оптимизация Лекция 2. Многокритериальная оптимизация
- •Контрольные вопросы к теме №2
- •Дополнительная задача
- •Тема 3. Совокупность взаимосвязанных отраслей экономики Лекция 3. Совокупность взаимосвязанных отраслей в экономике
- •Оптимизационная модель Леонтьева с учетом комплектности для выпускаемой продукции по отраслям
- •Разработка модели и анализ результатов
- •Модели динамического межотраслевого баланса Модель экономического роста
- •Оптимизационные динамические модели межотраслевого баланса
- •Динамическая оптимизационная модель накопления капитала
- •Динамическая оптимизационная модель потребления
- •Контрольные вопросы к теме №3
- •Анализ вариантов реконструкции завода
- •Составление модели
- •Тема 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики Лекция 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики
- •Решение
- •Решение
- •Задачи оптимизации производства
- •Функции спроса на ресурсы для долгосрочного периода
- •Функции спроса на ресурсы для краткосрочного периода
- •Динамическая модель оптимального размещения выпускаемой продукции по отраслям промышленного производства (производственно – транспортная модель)
- •Неоклассическая модель экономического роста Солоу
- •Математические основы развития экономики в модели Солоу
- •Математические основы теории трудовой стоимости Модель продаж и рынка одного товара
- •Модель производства множества товаров
- •Величина и стоимость трудовых ресурсов, необходимых для производства множества товаров
- •Контрольные вопросы по теме №4
- •Оптимизация внешнеторгового оборота
- •Оптимизация комплектования и транспортировки ресурсов для производства товаров внутри страны
- •Контрольные вопросы к теме №5
- •Тема 6. Динамические модели инвестиционной деятельности Лекция 6. Динамические модели инвестиционной деятельности
- •Модель инвестиционного менеджмента с учетом экономической конъюнктуры рынка
- •Обозначения.
- •Тема 7. Функциональная модель инвестиционного менеджмента Лекция 7. Функциональная модель инвестиционного менеджмента
- •Постановка задачи
- •Метод моделирования Условия ликвидности
- •Ограничения по производственным мощностям
- •Анализ результатов
- •Целевая функция двойственной задачи
- •Экономическая интерпретация результатов двойственной
- •Особенности модели Ферстнера
- •Тема 8. Динамическая оптимизационная модель конкурса инвестиционных проектов Лекция 8. Динамическая оптимизационная модель конкурса инвестиционных проектов
- •Постановка задачи
- •Метод моделирования
- •Анализ результатов
- •Модель инвестиционного менеджмента (по Албаху)
- •Постановка задачи
- •Условия проекта
- •Метод моделирования
- •Условия производства и сбыта продукции
- •Анализ результатов
- •Контрольные вопросы к темам № 6, 7, 8
- •Тема 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств Лекция 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств
- •Контрольные вопросы по теме №9
- •Пример практического применения нечетких чисел
- •Тема 10. Поиск наилучших решений методами динамического программирования Лекция 10. Поиск наилучших решений методами динамического программирования
- •Алгоритм решения
- •Контрольные вопросы по теме №10
- •Приложение 1 Минимальное возрастание стоимости комплекса работ
- •Указания к выполнению самостоятельной работы
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
- •Математические методы теории принятия решений Курс лекций
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Алгоритм решения
1. Если выделенные финансы направить только одному заводу ( ), то будет максимально-возможным приростом продукции на этом заводе (соответственно выделенной сумме ). Поскольку каждому отвечает конкретное значение выпуска , можно записать:
(12)
2. Если финансы распределяются между двумя заводами ( ), и заводу №2 выделяется сумма , то заводу №1 достанется сумма ( ). Поэтому и прирост продукции для завода №2 будет , а максимально возможный выпуск продукции на заводе №1 составит .
3. Общий прирост выпуска продукции на двух заводах будет равен сумме:
(13)
4. Оптимальному значению прироста продукции при распределении финансов между двумя заводами соответствует такое , при котором сумма правой части (13) — максимальна:
(14)
5. Аналогично выражению (14) можно записать формулу для вычисления , и т.п. Это значит, что оптимальное значение прироста продукции при распределении финансов для всех заводов можно описать формулой:
(15)
В квадратных скобках правой части (15) первое слагаемое прирост выпуска продукции на -м заводе; второе прирост на
( ) заводах при условии, что остающиеся после -го завода финансы будут распределены оптимально между остальными.
В нашем примере для развития экономики четырех заводов предусмотрены приросты производства , млн. денежных ед., в зависимости от выделенных финансов C млн. денежных ед. (20, 40, 60, 80, 100). Общая сумма выделяемого финансирования составляет 100 млн. денежных единиц.
Требуется распределить общую сумму финансирования так, чтобы обеспечить максимальный прирост выпуска продукции и оптимальное распределение денежных ресурсов.
В табл.33 и 34 приведены исходные данные и значения для первого шага по функции , отвечающие оптимальным величинам .
В соответствии с формулой (14) выполнены оптимизационные расчеты и получены значения и (табл. 35).
На базе формулы (15) выполнены оптимизационные расчеты и получены значения , (табл.36), а также , (табл. 37).
Результаты всех оптимизационных расчетов сведены в табл.38. Данные этой таблицы дают ответ на основной вопрос задачи. Для обеспечения максимального прироста продукции 85 млн. ден. ед. при выделенном объеме финансирования 100 млн. ден. ед. денежные ресурсы распределить: заводу 4 80 млн. ден. ед.; заводу 3 20 млн. ден. ед.; заводам 1 и 2 ничего не выделять. Выделенные финансы заводам 4 и 3 в табл. 38 обозначены: x4(100)=80; x3(100)=20.
Таблица 33 Исходные данные для пошагового решения задачи |
|
Таблица 34 Первый шаг |
|||||
|
№1 |
№2 |
№3 |
№4 |
|
Значения |
|
Значения |
Приросты |
|
|
|
|||
C |
|
|
|
|
|
20 |
9 |
20 |
9 |
11 |
16 |
13 |
|
40 |
18 |
40 |
18 |
19 |
32 |
27 |
|
60 |
24 |
60 |
24 |
30 |
40 |
44 |
|
80 |
38 |
80 |
38 |
44 |
57 |
69 |
|
100 |
50 |
100 |
50 |
59 |
70 |
73 |
|
|
|
Таблица 35
Второй шаг решения задачи
|
0 |
20 |
40 |
60 |
80 |
100 |
|
|
20 |
0+9 |
11+0 |
|
|
|
|
11 |
20 |
40 |
0+18 |
11+9 |
19+0 |
|
|
|
20 |
20 |
60 |
0+24 |
11+18 |
19+9 |
30+0 |
|
|
30 |
60 |
80 |
0+38 |
11+24 |
19+18 |
30+9 |
44+0 |
|
44 |
80 |
100 |
0+50 |
11+38 |
19+24 |
30+18 |
44+9 |
59+0 |
59 |
100 |
Таблица 36
Третий шаг решения задачи
|
0 |
20 |
40 |
60 |
80 |
100 |
|
|
20 |
0+11 |
16+0 |
|
|
|
|
16 |
20 |
40 |
0+20 |
16+11 |
32+0 |
|
|
|
32 |
40 |
60 |
0+30 |
16+20 |
32+11 |
40+0 |
|
|
43 |
40 |
80 |
0+44 |
16+30 |
32+20 |
40+11 |
57+0 |
|
57 |
80 |
100 |
0+59 |
16+44 |
32+30 |
40+20 |
57+11 |
70+0 |
70 |
100 |
Таблица 37
Четвертый шаг решения задачи
|
0 |
20 |
40 |
60 |
80 |
100 |
|
|
20 |
0+16 |
13+0 |
|
|
|
|
16 |
0 |
40 |
0+32 |
13+16 |
27+0 |
|
|
|
32 |
0 |
60 |
0+43 |
13+32 |
27+16 |
44+0 |
|
|
45 |
20 |
80 |
0+57 |
13+43 |
27+32 |
44+16 |
69+0 |
|
69 |
80 |
100 |
0+70 |
13+57 |
27+43 |
44+32 |
69+16 |
73+0 |
85 |
100 |
Таблица 38
Сводные результаты решения задачи
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
20 |
20 |
9 |
20 |
11 |
20 |
16 |
0 |
16 |
40 |
40 |
18 |
20 |
20 |
40 |
32 |
0 |
32 |
60 |
60 |
24 |
60 |
30 |
40 |
43 |
20 |
45 |
80 |
80 |
38 |
80 |
44 |
80 |
57 |
80 |
69 |
100 |
100 |
50 |
100 |
59 |
100 |
70 |
80 |
85 |
На базе данных табл.38 можно решать и другие задачи распределения финансовых ресурсов. Например, при объеме финансирования млн. ден.ед. для трех заводов максимальный объем прироста продукции составит млн. ден.ед. Для этого понадобится распределить финансы только между двумя заводами: третьему 40 млн. ден.ед. , второму 20 млн. ден.ед. , первому ничего выделять не надо.
Как видим, и в этом примере действует тот же алгоритм, какой будет справедливым и для рекуррентной формулы (8). Но содержательность (качественная сторона) информационных ресурсов, позволяющая на базе данных решать и другие задачи, очевидна.