Функции спроса на ресурсы для долгосрочного периода

Для целевой функции – максимизации прибыли:

Z = R – C = P_of(x₁, x₂) – (р₁ x₁ + р₂ x₂)  max,

ограничения на ресурсы не указаны. Значит, это задача на глобальный экстремум, для точек которого справедливы соотношения z/x₁ = 0; z/x₂ = 0 или

P_o z/x₁ = р₁; P_o z/x₂ = р₂ (6)

При отрицательных значениях вторых частных производных, изображение производственной функции у = f(x₁, x₂) в трехмерном пространстве – поверхность, выпуклая вверх (типа «колокол»). Верхняя точка «колокола» соответствует глобальному максимуму прибыли. Это означает, что система (6) имеет единственное решение с координатами x*₁, x*₂. Вектор затрат ресурсов x*₁, x*₂ называется локальным рыночным равновесием для конкретного производст- ва [6].

Если график трехмерного изображения перевести в двумерное (тогда плоскость Оx₁, x₂ станет горизонтальной осью Оz₁ на рис.7), то можно построить производственную функцию у = f(z₁); функции дохода у = P_of(z₁) и стоимости издержек производства С = рz₁. Тогда значения прибыли получаются, как разность значений графика дохода и издержек PR = P_of(z₁)  рz₁ (7). В точке В с координатами x*₁, x*₂ находится максимум прибыли.

Подставив значения x*₁, x*₂ в уравнение (6), получим:

P_o z*/x*₁ = р₁; P_o z*/x*₂ = р₂ (8)

По членное деление слагаемых (8) дает:

(9)

Это значит, что в точке x*₁,x*₂ рыночного равновесия отношение предельных производительностей первого и второго ресурсов равно отношению их рыночных цен.

На рис.8 показана изокванта у* = f(x*₁, x*₂). Поскольку связь между переменными x₁, x₂ можно выразить: x₂ = h(x₁), то получим следующее соотношение:

(10)

Из математического анализа следует, что для касательной (прямой, касающейся изокванты в точке М(x*₁, x*₂)),отношение:

р₁/р₂ = tg (11)

Поэтому из (9), (10), (11) следует, что значение tg = tg. Точка касания М(x*₁, x*₂) появилась лишь тогда, когда была решена система (8). Это значит, что изокоста на рис.6 совпала с касательной на рис.8. Факт касания – доказательство существования экономического равновесия, при котором обеспечивается наилучшие значения расходуемых ресурсов для заданного объема выпускаемой продукции. Конечно, значения x*₁, x*₂ зависят от цен на ресурсы. Это отражается в функциях спроса на ресурсы:

x*₁ = S₁(P_o, p₁, p₂), x*₂= S₂(P_o, p₁, p₂) (12)

Соответственно, функция предложения на выпускаемую продукцию запишется в виде соотношения:

у*=F[S₁(P_o, p₁, p₂), S₂(P_o, p₁, p₂)] (13)

Функции спроса на ресурсы для краткосрочного периода

Эта ситуация характерна при наличии ограничения на ресурсы. Пусть ограничен (его значение отмечено верхним индексом «ф») второй ресурс x₂^ф.

Пусть его значение находится в диапазоне:

x₂^*  x₂^ф  0 (14)

Тогда целевая функция максимизации прибыли запишется в виде:

PR(x₁, x₂^ф) = P_of(x₁, x₂^ф ) – (р₁ x₁ + р₂ x₂^ф)max (15)

Приравнивая к нулю первую производную, получим:

(16)

На рис.9 в точке В(x₁^ф, x₂^ф) показано выполнение условия (14). В этой точке локального равновесия изокванта(заданные объемы выпускаемой продукции) и изокоста 22 уже не касаются, а пересекаются. Изокоста 22, проведенная через точку В, имеет большее значение производственных издержек, чем параллельная ей изокоста 1-1. Только в точке А с координатами x₁^*, x₂^* находится глобальный минимум издержек производства. Именно точка А(x₁^*, x₂^*) обеспечивает минимум издержек производства при заданном объеме выпуска продукции.

X₂

Горизонтальная линия Х₂^ф – В на рис.9 называется линией краткосрочного развития производства.

Аналогично предыдущему параграфу запишем функцию спроса на первый ресурс (при фиксированном значении второго):

x^ф₁= F₁(x^ф₂, P_o, p₁, p₂) (17)

Тогда функция предложения на выпуск продукции будет:

Y = F₂(x^ф₂,P_o,p₁,p₂) (19).