Условия возникновения двойственности при оптимизации проблемных ситуаций, возникающих в экономике

Экономия ресурсов является наилучшей характеристикой эффективности плановоэкономической работы на предприятии. В связи с этим вопросом сформулируем такую задачу.

Для выпуска двух видов изделий используются отходы 4-х видов в количестве 15, 18, 16 и 8 единиц . Затраты отходов на единицу изделия составляют: для 1-го изделия – 3, 2, 4, 1; для 2-го – 3, 6, 0, 2 (ед. отходов/ед. изделия). Предполагаемая величина прибыли: для первого изделия ден.ед., для 2-го денежных единиц.

При каких условиях возможна, вместо организации производства, продажа отходов руководством фирмы другому покупателю?

Сопоставим величину прибыли со стоимостью отходов :

, ден.ед.	(1)
, ден.ед.,	(2)

где - стоимость единицы отходов  ресурса [ден.ед./ед.рес.].

Позиция руководства фирмы:

,

(А)

позиция покупателя:

.

(В)

Это значит, что покупатель признает позицию производителя, а именно: , но сам бы он хотел минимизировать сумму денежных расходов на ресурсы.

Требования производителя описываются следующими соотношениями:

(3)

Это постановка прямой задачи (А); требование покупателя (В) – это двойственная постановка («ДЗ») той же задачи.

Неравенство (3) является основным неравенством теории двойственности. На основе этого неравенства можно записать критерий оптимальности Канторовича:

,

(4)

где звездочкой «*» отмечены оптимальные значения X_j и V_i.

В теории двойственности рассматриваются три теоремы, основное содержание которых сводится к следующему.

Первая теорема двойственности математически строго доказывается на основе соотношения (4). Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая его имеет. Причем экстремальные значения целевых функций совпадают. Если же в одной задаче целевая функция не ограничена, то двойственная ей задача противоречива.

Вторая теорема двойственности. Допустимые решения исходной и двойственной задачи будут оптимальными тогда и только тогда, когда выполнены каждая из следующих групп соотношений:

1. и ;

2. и ;

3. Для всякого , если , то ; для всякого , если , то .

Сущность второй теоремы: если двойственные оценки положительны, то есть V_i* > 0, то ресурсы дефицитны (т.е. они полностью использованы, а их неиспользуемость S_i = 0). Если же V*_i = 0, то ресурсы находятся в избытке и потому значение S_i > 0.

Третья теорема двойственности. Значения переменных V*_i в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов системы ограничений прямой задачи на величину .

Третья теорема двойственности доказывается так:

f(x) = V*_ib_i

Если b_i = 1, то |f(x)| = |V_i*|. То есть, изменение значения целевой функции при изменении соответствующего ресурса на единицу составит столько единиц, сколько их в положительных оценках V_i*.

Правила формулировки двойственной задачи на основе прямой задачи:

1. Количество неизвестных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений в прямой задаче.

2. Экстремум целевой функции двойственной задачи формулируется противоположным по смыслу прямой задачи: вместо максимума  минимум (а вместо минимума  максимум).

3. Число ограничений в системе двойственной задачи равно числу переменных в исходной задаче.

4. Правыми частями в ограничениях двойственной задачи являются коэффициенты при неизвестных в целевой функции прямой задачи.

Теперь сформулируем модель двойственной задачи:

Прямая задача	Двойственная задача

Информационные ресурсы результатов решения можно свести в следующую таблицу:

Таблица 1

Переменные		Переменные
Прямая задача	Двойственная задача	Прямая задача	Двойственная задача
основные	дополнительные	дополнительные	основные

Рассмотрим интерпретацию трех теорем двойственности, сформулированных выше.