Оптимизация внешнеторгового оборота

1. Условие задачи. В торговле участвуют r рынков. Для экспорта выделено m видов товаров в количестве A_i единиц (i = 1,m). Задана потребность в n видах импортных товаров в количестве B_j единиц (j =1,n).

Известна максимально–возможная величина экспорта (спроса) товаров на k–ом рынке (k =1,r) в количестве S_ik; величина максимально–возможного импорта (предложение) j–го товара на k–ом рынке П_jk. Цена реализации товара p_{ik ,} цена покупки j–го товара p_jk.

По плану министерства внешней торговли со всеми рынками, кроме первого, запланировано получить величину торгового сальдо в размере V_k.

Требуется определить товарно–географическую структуру экспорта и импорта, при которой достигается максимум величины торгового сальдо от торговли с первым рынком. Непременное условие – полная реализация выделенных экспортных фондов, обеспечение потребности в импортных товарах, выполнение торгового баланса.

Конструирование модели.

1. Управляющие переменные – это количество i–го товара, экспортируемого на k–й рынок, X_ik; количество j–го товара, импортируемого с kго рынка, Y_ik.

2. Ограничения по экспортным фондам _k X_ik = A_i.

3. Ограничения по импортным потребностям _k Y_jk = B_j.

4. Ограничения по емкости экспортных рынков X_ik <= S_ik.

5. Ограничения по емкости импортных рынков Y_jk <= П_jk.

6. Ограничения по валюте:

_i p_ik  X_ik  _j p_jk  Y_jk = V_k (k = 2,r).

Первое слагаемое этого выражения – валютная выручка от реализации всех i–х товаров на k–х рынках, кроме первого; второе слагаемое – стоимость покупок всех j–х товаров на k–х рынках, кроме первого. Правая часть выражения – величина торгового сальдо от всех рынков, кроме первого.

1. Неотрицательность управляющих переменных: X_ik=>0; Y_jk=>0.

2. Целевая функция – максимум величины торгового сальдо от торговли с первым рынком:

L = _i p_i1  X_i1  _j p_j1  Y_j1  max

Первое слагаемое правой части представляет сумму продаж за счет экспорта, второе – сумму покупок за счет импорта.

Оптимизация комплектования и транспортировки ресурсов для производства товаров внутри страны

Задача №1. Оптимальное управление запасами.

Условие задачи. На одном и том же типе оборудования вне страны производятся пять типов полуфабрикатов. Стоимость переналадок оборудования K_i не зависит от очередности выпуска полуфабрикатов, являющихся ресурсами для последующего производства продукции внутри страны – импортера. Полуфабрикаты затем транспортируются на склады общей площадью 300 м². Стоимость транспортировки и возможного хранения на складах учитывается при проведении окончательных расчетов со страной экспортера. Стоимость содержания единицы полуфабрикатов S_i[ден. ед./ (ед. п/фабр.ед. врем)], скорость поступления _i и скорость расхода _i[ед. п/фабр. / ед. врем.], а также нормативы хранения запаса на складских площадях f_i[м² / (ед. п/фабр.)] и оборотных средств a_i[ден. ед. / (ед. п/фабр.)], потери от дефицита d_i[ден. ед./ (ед. п/фабр. ед. врем)], приведены в табл.14. Величина оборотных средств не должны превышать значения А_о = 20000 ден. единиц [7].

Требуется установить оптимальные значения: партии поставки полуфабрикатов q_i и их максимальный уровень запаса Y_i, продолжительности времени производства, дефицитной и бездефицитной работы системы управления запасами для полуфабрикатов каждого вида.

Таблица 14

Исходные данные по полуфабрикатам

Значение индекса i	i	i	Ki	Si	di	fi	ai
1	49	245	52	6	18	1,5	50
2	178	685	78	8	32	1,4	50
3	266	1520	43	10	20	2	100
4	59	413	57	11	40	0,8	100
5	148	710	70	5	25	1,6	50

Алгоритм решения.

1. Поскольку перед нами задача многопродуктового производства с учетом неудовлетворенных требований [9], рассчитываются следующие значения: _i/_i; А_i = 1  _i / _i ; M_i = S_i / d_i; B_i = 1  S_i / d_i; R_i = S_i_i  А_i / B_i.

2. Определяется оптимальное время возобновления поставок:

3. Вычисляются все требуемые оптимальные параметры системы управления запасами:

   • партии поставки q_i =_i  t_ц [40,56 и 25,32];

   • времени производства полуфабрикатов t_пр=q_i/_i [0,068 и 0,042];

   • времени формирования запаса t₁ = t_пр/B_i [0,051 и 0,032];

   • времени ликвидации дефицита t₄ = t_прt₁ [0,017 и 0,011];

   • времени расходования запаса t₂ = t_ц А_i./B_i [0,203 и 0,127];

   • времени бездефицитной работы H_i=t₁ + t₂ [0,253 и 0,158];

   • времени дефицитной работы N_i = H_i+M_i [0,084 и 0,053];

   • максимального уровня запаса Y_i=q_i(1_i)/_i [32,45 и 20,26].

4. Выполняется проверка ограничений времени поставок:

• из условия размеров складских площадей t_пл. = F /  f_i_i, ед. времени;

• из условия оборотных средств t_об. = А_о /  a_i _i , ед. времени.

  5. Если значения t_пл. и t_об. окажутся меньшими t_ц, то выбирается новое значение оптимального времени поставок из условия:

t_пл. = min {t_пл.; t_об.} = min {0,211; 0,263} = 0,211

5. Теперь значения оптимальных параметров системы управления запасами (с учетом неудовлетворенных требований), указанные в подпункте 3, пересчитываются заново. В квадратных скобках всех подпунктов 3 приведены численные значения только для полуфабриката первого вида: первая цифра – до пересчета, вторая – после пересчета значения величины t_пл.

6. Окончательные результаты задачи №1 выводятся на печать и используются для последующего расчета в задаче №2, связанной с транспортировкой ресурсов (запасов) в страну импортера. Пример расчета в таблице Excel приводится в [3].

Задача №2. Оптимизация системы транспортных перевозок грузов.

Условие задачи. Запасы полуфабрикатов в складах «поставщиков» определены в задаче №1. Доставка полуфабрикатов в три заводских цеха («потребители») производится из условия минимальных транспортных издержек. Исходные данные к этой задаче и удельная стоимость перевозок D_ij приведены в таблице 15.

Таблица 15

Исходные данные к транспортной задаче

Поставщики полуфабрикатов	Запасы у поставщиков	Цехи завода – потребителя
		j = 1	j = 2	j = 3
i = 1	Результат	4	9	3
i = 2	решения	4	8	6
i = 3	предыдущей	3	6	7
i = 4	задачи	3	8	2
i = 5		2	5	9
Объемы ресурсов		67	60	50

Модель для задачи №2.

1. Целевая функция – минимизация суммарной стоимости перевозок:

L = _i_j D_ijX_ij  min ,

где X_ij – количество полуфабрикатов (пятнадцать основных переменных в задаче №1); i=1,5; j=1,3 – соответственно количество складов и заводских цехов.

2. Ограничения по грузоперевозкам:

X₁₁ + X₁₂ + X₁₃ => 10 (1)

X₂₁ + X₂₂ + X₂₃ => 37 (2)

X₃₁ + X₃₂ + X₃₃ => 56 (3)

X₄₁ + X₄₂ + X₄₃ => 12 (4)

X₅₁ + X₅₂ + X₅₃ => 31 (5)

3. Ограничения по величине требуемых ресурсов:

X₁₁ + X₂₁ + X₃₁ + X₄₁ + X₅₁ => 36 (6)

X₁₂ + X₂₂ + X₃₂ + X₄₂ + X₅₂ => 60 (7)

X₁₃ + X₂₃ + X₃₃ + X₄₃ + X₅₃ => 50 (8)

4. Ограничения по условиям работы склада №1:

X₁₁ <= 36 (9) X₁₁ + X₁₂ <= 55 (11)

X₁₂ <= 60 (10) X₁₁ + X₁₂ => 40 (12)

5. Экономическая интерпретация результатов задачи №2 выполняется в соответствии с данными таблицы 16.

а) Основные переменные X₁₁, X₁₂, X₂₃, X₃₁, X₃₂, X₄₃, X₅₂ указывают оптимальную величину перевозимого груза. Для них дополнительные переменные двойственной задачи U_j равны нулю (т.е. перевозки грузов по таким маршрутам целесообразны).

б) Для остальных основных переменных значения X_ij равны нулю и соответствующие им U_j отличны от нуля, показывая степень убыточности в случае отклонения от оптимального плана.

в) Основные переменные двойственной задачи V_i имеют значения, равные нулю: V₁, V₂, V₆, V₁₀, V₁₁. Соответствующие им дополнительные переменные прямой задачи S₁, S₂, S₆, S₁₀, S₁₁, показывают невыгодность грузоперевозок по определенным маршрутам. В неравенствах (1) и (6) эта невыгодность (остаток грузов) характеризуется значениями в 30 и 31 единицу соответственно. В неравенстве (6) только X₁₁ = 36, X₃₁ = 31, а остальные переменные равны нулю. Это значит, что к расчетной величине объема ресурсов можно добавить 36 + 31=67, записав (6) как строгое равенство. Корректив в 67 единиц сохраним для ограничения (1) по ресурсам в следующей задаче №3.

г) Цехи завода, которые будут выпускать продукцию (в следующей задаче №3), теперь знают, что в их распоряжение поступят:

• Полуфабрикаты 1-го и 3-го видов, образующие первый ресурс (в цехе №1);

• Полуфабрикаты 1-го, 3-го и 5-го видов, образующие второй ресурс (в цехе №2);

Полуфабрикаты 2-го и 4-го видов, образующие третий ресурс (в цехе №3).

Таблица 16

Результаты оптимизации задачи №2

№	Основные переменные	Значения основных переменных	Оценки убытков	№	Дополнительные переменные	Значения Si	Значения Vi
1	X11	36	0	16	S1	30	0
2	X12	4	0	17	S2	1	0
3	X13	0	3	18	S3	0	3
4	X21	0	8	19	S4	0	1
5	X22	0	7	20	S5	0	2
6	X23	38	0	21	S6	31	0
7	X31	31	2	22	S7	0	3
8	X32	25	0	23	S8	0	1
9	X33	0	1	24	S9	0	2
10	X41	0	6	25	S10	56	0
11	X42	0	6	26	S11	15	0
12	X43	12	0	27	S12	0	6
13	X51	0	2
14	X52	31	0
15	X53	0	4
16	Минимальное значение целевой функции составляет 640 ден. единиц

В соответствии со своими техническими возможностями цехи распределяют и используют поступающие потоки грузов так, чтобы производить продукцию в количестве, обеспечивающем максимум прибыли.

Задача №3. Оптимизация выпуска товаров

Условие задачи. Развезенные по цехам комплекты полуфабрикатов (см. задачу №2) образуют ресурсы b_i, единиц ресурсов, из которых в цехах завода начнется выпуск трех видов товаров. Объемы ресурсов, сосредоточенные в трех цехах («потребителях»), составляют соответственно 67, 60 и 50 единиц ресурсов (табл.17). Известны затраты ресурсов на единицу товаров a_ij, отпускные цены товаров каждого вида _i [ден. ед. / ед. тов.] и их себестоимость C_ij .

Таблица 17

Исходные данные для выпуска товаров в цехах завода

Индексы видов ресурсов	Объемы ресурсов, полученные в задаче №2	Исходные данные задачи №3	План выпуска товаров
			Т1 = 126	Т2 = 58	Т3 = 77
i = 1	67	a1j	0,3	0,6	0,4
		C1j	20	10	40
i = 2	60	a2j	0,6	0,8	0,7
		C2j	50	40	40
i = 3	50	a3j	1,4	0,5	0,9
		C3j	60	90	30
Цены товаров i			80	100	60

Требуется определить план выпуска товаров X_ij из условия максимальной прибыли.

Составление математической модели.

1. Целевая функция Z = _i _j ( _i  C_ij ) X_ij  max , то есть

Z=60X₁₁+90X₁₂+20X₁₃+30X₂₁+60X₂₂+20X₂₃+20X₃₁+10X₃₂

+10X₃₃ max

2. Ограничения по ресурсам (правые части – из табл.17):

0,3X₁₁+ 0,6X₁₂+0,4X₁₃ < = 67 (1)

0,6X₂₁+ 0,8X₂₂+0,7X₂₃ < = 60 (2)

1,4X₃₁+ 0,5X₃₂+0,9X₃₃ < = 50 (3)

3. Ограничения по объему выпуска:

X₁₁ + X₂₁ + X₃₁ < = 126 (4)

X₁₂ + X₂₂ + X₃₂ < = 58 (5)

X₁₃ + X₂₃ + X₃₃ < = 77 (6)

4. Экономическая интерпретация результатов задачи №3 (табл.18).

Таблица 18

Результаты моделирования задачи №3

Номера строк	Основные переменные	Значения основных переменных	Оценки «убытков» uj	Номера строк	Дополнительные переменные	Значения Si	Значения Vi
1	X11	126	0	10	S1	0	50
2	X12	48,67	0	11	S2	37,52	0
3	X13	0	20	12	S3	0	11,11
4	X21	0	15	13	S4	0	45
5	X22	9,33	0	14	S5	0	60
6	X23	21,44	0	15	S6	0	20
7	X31	0	40,56
8	X32	0	55,56
9	X33	55,56	0
	Максимальное значение целевой функции составляет 14596 ден.ед.

О размерности основных и дополнительных переменных уже говорилось выше.

По результатам моделирования можно сделать следующие выводы:

1. Для выпуска товаров 1-го и 2-го вида используется первый ресурс. Оптимальные значения объемов товаров соответственно составляют 126 и 48,67 единиц (то есть 12600 и 4867 штук). Двойственные оценки показывают нулевые значения убыточности, кроме товара 3-го вида, для которого u₃ = 20 денежных единиц за единицу товара;

2. Для выпуска товаров 2-го и 3-го видов используется второй ресурс. Оптимальные значения объемов товаров соответственно составляют 9,33 и 21,44 единицы (то есть 933 и 2144 штук). Для них двойственные оценки убыточности равны нулю. Для товара 1-го вида, не рекомендуемого к выпуску, величина убыточности может составить 15 денежных единиц за единицу товара;

3. Третий ресурс рекомендуется использовать только для производства товаров 3-го вида в количестве 5556 штук. При выпуске товаров 1-го и 2-го видов из этого ресурса убыточность может составить 40,56 и 55,56 денежных единиц за единицу товара;

4. При производстве товаров 2-го и 3-го видов останутся неиспользованными 37,52 единицы второго ресурса (S₂ = 37,52), поэтому и теневая цена его станет равной нулю (V₂ = 0);

5. Для производства товара 1-го вида в количестве 126 единиц (12600 штук) требуется первый ресурс использовать полностью. Для производства товара 2-го вида в количестве 58 единиц (5800 штук) надо использовать 48,67 единиц первого и 9,33 единицы второго ресурса. Для производства товара 3-го вида в количестве 77 единиц используется 21,44 единицы второго и 55,56 единицы третьего ресурса;

6. Значения двойственных оценок V₄ = 45, V₅ = 60, V₆ = 20 – положительны. Такими должны быть теневые цены, чтобы обеспечить плановые показатели по выпуску продукции и максимизировать величину прибыли;

7. Максимальная величина прибыли при производстве товаров, для которых сырье закупалось заграницей, составляет 14596 денежных единиц. Любое отступление от рекомендаций оптимального плана непременно снизит это значение.