Тема 2. Многокритериальная оптимизация Лекция 2. Многокритериальная оптимизация

Экономическая эффективность производства оценивается системой количественных показателей. При этом назначение показателей - сопоставлять результат с затратами на его достижение. Показатель может являться критерием оптимальности.

Экстремальное значение одного из показателей еще не означает, что экономическая система на данном предприятии работает лучше. На такой вопрос однозначно может ответить только система показателей. Речь, таким образом, идет уже о критериях эффективности производственного процесса.

Критерии эффективности производства придают экономическую конкретность оценки: не просто максимальная прибыль, а максимальная прибыль при наименьших затратах.

Задачи, которые решаются с учетом системы показателей – множества критериев – называются многокритериальными. Такие задачи могут быть как линейными, так и нелинейными, что определяется самой сутью задачи. Здесь важно только одно, какой план допустимых решений ищется: эффективный (критерии равнозначны) или компромиссный (множество неравнозначных критериев). Для задач, у которых критерии неравнозначны, применяется метод уступок.

Алгоритм метода уступок состоит в следующем:

1. Расположить критерии по их значимости, считая самый важный из них – ПЕРВЫМ;

2. Решить задачу по первому критерию;

3. Сделать уступку по первому критерию, соответственно изменив его численное значение;

4. В соответствии со сделанной уступкой, ввести в задачу дополнительное ограничение;

5. Решить эту новую задачу по следующему критерию;

6. Если критериев больше двух, переходите вновь на пункты алгоритма 3 – 5;

7. Окончание многокритериальной оптимизации заканчивается, когда решение получено с учетом всех назначенных критериев.

Пример. Пусть отклонение первого (наиболее важного) критерия от максимального значения не превышает 10%. Второй критерий – менее предпочтительный – минимизируется и отклонения не имеет. Тогда с учетом заданных ограничений математическое описание будет записано следующим образом:

F₁ = x₁ + 2x₂  max

F₂ = x₁ + x₂  min

x₁ + 2x₂  6 (1)

x₁  4 (2)

x₂  5 (3)

После решения системы соотношений для первой целевой функции получаем точку С(4; 5) и значение F₁ = 14. Это значение определяет угол наклона прямой линии целевой функции F₁ к горизонтальной оси  рис.3.

После решения этой системы вводим дополнительное ограничение:

x₁ + 2x₂  12,6 (4)

В правой части (4) число 12,6 = 0,914 – то есть, произведена уступка в 10% по первому критерию. Теперь задача имеет следующее математическое описание:

F₂ = x₁ + x₂  min

x₁ + 2x₂  12,6 (1)

x₁  4 (2)

x₂  5 (3)

Решение этой задачи позволяет обнаружить точку Е(2,6; 5). Это значит, что величина F₂ = 2,6 + 5 = 7,6. Именно эта прямая и проходит через точку Е. Провести ее на рис.3 можно следующим образом. При x₂ = 0 значение x₁ = 7,6. Через две точки Е(2,6; 5) и М(7,6; 0) можно провести прямую и притом только единственную. Теперь область допустимых решений изменилась, она обозначена ABELDA. Причем координаты всех точек известны: для точки L(4; 3,6); для точки D(4; 1); для точки K(4; 4,3); для точки E(2,6; 5). Координаты точек А и В видны на рис.3: координаты точки А(0; 3), координаты точки В(0;5).

Итак, компромиссный план для двух критериев обеспечивает: максимум дохода в количестве 12,6 денежных единиц, минимум издержек производства в количестве 7,6 денежных единиц. Координаты точки оптимума Е(2,6; 5).

Пример задачи был выбран с двумя переменными только для того, чтобы визуально убедить в правильности действия алгоритма. Ясно, что принцип решения многокритериальных задач со множеством переменных и ограничений будет таким же. И тогда не потребуется рисунок. Кроме того, при числе переменных больше трех изобразить его невозможно.