3.4. Модель Стоуна

Будем предполагать, что определенное количество единиц каждого вида товара необходимо потребителю в любом случае и вопрос относительно их приобретения не является предметом выбора. Оставшиеся средства потребитель использует для приобретения дополнительных единиц товаров в соответствии со своими предпочтениями.

Обозначим через b₁, b₂, … b_n минимальные количества единиц соответствующих видов товара необходимых потребителю. При этом предполагается, что выполняется условие

(3.35)

Также, без умаления общности, будем предполагать, что предпочтения потребителя относительно дополнительных единиц товаров описываются функцией полезности Кобба-Дугласа:

(3.36)

Задача потребительского выбора принимает следующий вид:

(3.37)

3.5. Двойственная задача потребительского выбора

Теперь предположим, что потребитель не стремится приобрести набор товаров, обеспечивающий ему максимальную полезность. Потребитель выбрал уровень полезности u*, который должен обеспечить ему приобретаемый набор товаров, и среди одинаково полезных наборов он стремится приобрести как можно более дешевый.

В данной ситуации мы говорим о задаче потребительского выбора в двойственной постановке (двойственной задаче потребительского выбора).

Математическая формулировка двойственной задачи потребительского выбора имеет следующий вид:

(3.38)

Можно дать следующую интерпретацию полученному решению задачи потребительского выбора в условиях модели Стоуна: сначала приобретается минимально необходимое количество b₁, b₂, … b_n единиц соответствующего вида товара. После приобретения минимальной потребительской корзины рассчитывается оставшаяся сумма, которая распределяется между различными видами товаров в соответствии с весовыми коэффициентами b₁, a₂, … a_n и определяется количество дополнительных единиц каждого вида товара, которое необходимо приобрести потребителю.

3.6. Функция спроса Маршалла

В силу свойств решения задачи потребительского выбора функции спроса Маршалла являются однородными функциями нулевой степени, т. е. для любого α>0 имеет место:

(3.39)

Таким образом, мы можем сделать вывод, что объемы потребления товаров не зависят непосредственно от самих цен товаров и дохода потребителя, а зависят лишь от отношения цен и отношения дохода к цене (относительных цен и относительного дохода). Выбирая цену первого товара p₁ в качестве единицы измерения, получаем:

(3.40)

3.7. Модель общего равновесия Вальраса

Рассмотрим экономику, в которой производится n видов продукции с помощью m факторов производства. Обозначим через p=(p₁, … p_n)^T вектор цен выпуска, w=(w₁, … w_m)^T – вектор цен факторов производства. Будем предполагать, что рынок функционирует в условиях совершенной конкуренции (т. е. все потребители и фирмы являются ценополучателями).

Предположим, что на рынке присутствуют k фирм, каждая из которых способна выпускать любой из видов продукции, осуществляя затраты факторов производства. Обозначим через q⁽ⁱ⁾=(q₁⁽ⁱ⁾, … q_n⁽ⁱ⁾)^T вектор выпуска продукции i-й фирмой, через x⁽ⁱ⁾=(x₁⁽ⁱ⁾, … x_m⁽ⁱ⁾)^T вектор затрат факторов производства i-й фирмы.

Производственную функцию фирм запишем в неявном виде:

(3.41)

Как и раньше, будем предполагать, что фирмы максимизируют свою прибыль с учетом собственной технологии производства (производственной функции). Тогда задачи фирм будут выглядеть следующим образом:

(3.42)

Каждая система содержит уравнение с n+m+1 неизвестным. Поскольку эти уравнения справедливы для каждой из фирм, то имеем (n+m+1)k уравнений для задачи общего равновесия.

Кроме этого, в экономике имеется l потребителей, каждый из которых владеет определенным фактором производства (рабочей силой) который он может продать на рынке ресурсов и получить доход. Предполагается, что потребитель получает определенную долю прибыли каждой фирмы.

Обозначим через h⁽ⁱ⁾=(h₁⁽ⁱ⁾, … h_n⁽ⁱ⁾)^T набор товаров, приобретаемый i-м потребителем, через y⁽ⁱ⁾=(y₁⁽ⁱ⁾, … y_m⁽ⁱ⁾)^T набор факторов производства, находящийся в распоряжении i-го потребителя, через s⁽ⁱ⁾=(s₁⁽ⁱ⁾, … s_k⁽ⁱ⁾)^T - вектор долей участия i-го потребителя в прибылях фирм.