5.12. Определение победителя подрядных торгов с применением теории игр

Во многих задачах неопределенность вызвана отсутствием информации об условиях, в которых осуществляются действия. Эти действия зависят от объективной действительности, которую принято называть природой. Человек (А) в играх с природой старается действовать, осмотрительно используя, например, минимаксную стратегию, позволяющую получить наименьший проигрыш.

Второй игрок В (природа) действует совершенно случайно, возможные стратегии определяются как ее состояния (например, условия погоды или спрос на продукцию и т.д.).

В некоторых задачах для состояний природы может быть задано распределение вероятностей, в других оно известно. Условия игры задаются в виде матрицы

Элемент а_ij равен выигрышу игрока А, если он использует стратегию А_i, а состояние природы - Р_j.

При известном распределении вероятностей различных состояний природы критерием принятия решения является максимум математического ожидания выигрыша. Если вопрос распределения вероятностей состояний природы не решен, то используют следующие критерии.

1. Максимальный критерий Вальда, при котором выбирается стратегия, гарантирующая выигрыш не меньше

.

2. Критерий минимального риска Севиджа, рекомендующий выбирать стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации:

,

где Z_ij = b_j - a_ij; b_j = .

Реализацию методов теории игр рассмотрим на следующем примере. Возможно участие в строительстве 4-х предприятий, участвующих в торгах - А1, А2, А3, А4. Эффективность предложений (оферт) каждого из предприятий зависит от различных факторов: стоимости строительства, сроков выполнения работ, качества строительства и т.д.

Предположим, что выделено 4 состояния, каждое из которых означает определенное сочетание факторов, влияющих на эффективность реализации инвестиционного проекта (темпы инфляции, климатические условия).

Состояния природы обозначим через Р1, Р2, Р3, Р4.

Экономическая эффективность проекта в зависимости от состояний природы задана матрицей

.

Согласно критерию Вальда

,

По критерию Сэвиджа необходимо построить матрицу рисков:

,

где .

Согласно критерию Сэвиджа определяем

Согласно этому критерию также предполагается объявить победителем 3-е предприятие.

Для заданного распределения вероятностей природы:

0,25; 0,25; 0,25; 0,25;

получим: max a_ij  P_j = (4,75; 5,25; 6,25; 3,75) = 6,25.

Оптимальной также является 3-я стратегия, т.е. заключение контракта на реализацию проекта с 3-им предприятием.

Вопросы и задания

1. Дайте определение матричной игры. Какие виды матричных игр вы знаете?

2. Приведите примеры игр в чистых и смешанных стратегиях.

3. Определите седловую точку для игры, заданной платежной матрицей

.

4. Найдите решение матричной игры по критерию Вальда. Матрица выигрыша задана

.

6. Имитационное моделирование

В исследовании операций широко применяются как аналитические, так и статистические модели. Каждый из этих типов имеет свои преимущества и недостатки. Аналитические модели более грубы, учитывают меньшее число факторов, всегда требуют каких-то допущений и упрощений. Зато результаты расчета по ним отчетливее отражают присущие явлению основные закономерности. А главное – аналитические модели больше приспособлены для поиска оптимальных решений [5, 6].

Статистические модели по сравнению с аналитическими более точны и подробны, не требуют столь грубых допущений, позволяют учесть большое (в теории – неограниченно большое) число факторов. Но и у них свои недостатки: громоздкость, плохая обозримость, большой расход машинного времени, а главное – крайняя трудность поиска оптимальных решений, которые приходятся искать путем догадок и проб.

Наилучшие работы в области исследования операций основаны на совместном применении аналитических и статистических моделей. Аналитическая модель дает возможность в общих чертах разобраться в явлении, наметить как бы контур основных закономерностей. Любые уточнения могут быть получены с помощью статистических моделей.

Имитационное моделирование применяется к процессам, в ход которых может время от времени вмешиваться человеческая воля. Человек, руководящий операцией, может в зависимости от сложившейся обстановки принимать те или другие решения подобно тому, как шахматист, глядя на доску, выбирает свой очередной ход. Затем приводится в действие математическая модель, которая показывает, какое ожидается изменение обстановки в ответ на это решение и к каким последствиям оно приведет спустя некоторое время.

Следующее «текущее решение» принимается уже с учетом реальной новой обстановки и т.д. В результате многократного повторения такой процедуры руководитель как бы «набирает опыт», учится на своих и чужих ошибках и постепенно выучивается принимать правильные решения – если не оптимальные, то почти оптимальные.

В современной литературе не существует единой точки зрения по вопросу о том, что понимать под имитационным моделированием. Так, существуют различные трактовки:

1) под имитационной моделью понимается математическая модель в классическом смысле;

2. этот термин сохраняется лишь за теми моделями, в которых тем или иным способом разыгрываются (имитируются) случайные воздействия;

3. предполагают, что имитационная модель отличается от обычной математической более детальным описанием, но критерий, по которому можно сказать, когда кончается математическая модель и начинается имитационная, не вводится.