7.2. Многоканальная модель с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания

В подавляющем большинстве случаев на практике системы массового обслуживания являются многоканальными и, следовательно, модели с п обслуживающими каналами (где п>1) представляют несомненный интерес.

Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока λ, при этом параллельно может обслуживаться не более п клиентов (заявок).

Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется 1/μ. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими.

Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, причем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения.

Конечная цель использования п параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышении (по сравнению с одноканальной систе­мой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания од­новременно п клиентов.

Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания с отказами имеет вид, показанный на рис. 7.3.

λ λ λ λ λ λ

μ 2 μ 3 μ k μ (k+1)μ n μ

Рис. 7.3. Граф состояний многоканальной СМО с отказами

Состояния данной СМО имеют следующую интерпретацию:

S₀ — все каналы свободны;

S₁ — занят один канал, остальные свободны;

S_k— заняты ровно k каналов, остальные свободны;

S_n — заняты все n каналов, заявка получает отказ в обслуживании.

Формулы для вычисления вероятностей P_k называются формулами Эрланга. Определим вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме:

• вероятность отказа:

(7.17)

то есть заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все n каналов заняты. Величина P_отк характеризует полноту обслуживания входящего потока;

• вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же — относительная пропускная способность системы q) дополняет P_отк до единицы:

(7.18)

• абсолютная пропускная способность:

; (7.19)

• среднее число каналов, занятых обслуживанием (), следующее:

. (7.20)

Величина характеризует степень загрузки СМО.

Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с ожиданием. Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями λ и μ соответственно; параллельно обслуживаться могут не более С клиентов. Система имеет С каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания од­ного клиента равна — 1/μ.

Условие стационарности системы: .

Вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяются по следующим формулам:

• вероятность того, что в системе находится n клиентов на обслуживании, определяется по формулам (7.21);

• среднее число клиентов в очереди на обслуживание:

(7.21)

• среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на об­служивание в очереди):

L_S = L_q + ρ (7.22)

• средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди:

(7.23)

• средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

(7.24)

Вопросы и задания

1. Приведите примеры систем массового обслуживания.

2. Определить абсолютную и относительную пропускную способность одноканальной СМО с пуассоновским входным потоком при λ=1,3 заявки в час, μ=1,1 заявки в час.

3. Для условия п. 2 определить вероятность отказа в обслуживании заявки.

4. Многоканальная СМО имеет 7 каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания од­ной заявки равна 1,5 часа. Интенсивность поступления заявок в систему равна 2 заявкам в час. Рассчитать условие стационарности системы.