- •Введение
- •Понятие об экономико-математических методах и моделях
- •1.1.Определение модели и цели моделирования
- •1.2. Последовательность построения экономико-математической модели
- •1.3. Классификация экономико-математических методов
- •1.4. Классификация экономико-математических моделей
- •1.5. Объекты моделирования
- •1.6. Цель, критерий и ограничения в экономико-математических моделях
- •2. Математические модели рынка
- •2.1. Понятие рыночного равновесия
- •2.2. Паутинообразная модель рынка
- •2.3. Существование и единственность рыночного равновесия
- •2.4. Государственное регулирование рынка. Налоги
- •. Дотации
- •2.6. Фиксированные цены
- •2.7. Оценка прибыли и убытков при государственном регулировании рынка
- •2.8. Поддержание стабильных цен и производственные квоты
- •2.9. Принципы ценообразования в рыночной экономике. Диверсификация цен
- •2.9.1. Диверсификация цен в зависимости от дохода покупателя
- •2.9.2. Диверсификация цен в зависимости от объема потребления
- •2.9.3. Диверсификация цен по категориям товаров
- •Совокупная прибыль
- •2.9.4. Диверсификация цен по времени
- •3. Производственные функции
- •3.1. Виды производственных функций
- •3.2. Функция Кобба-Дугласа
- •3.3. Модель Солоу
- •3.4. Модель Стоуна
- •3.5. Двойственная задача потребительского выбора
- •3.6. Функция спроса Маршалла
- •3.7. Модель общего равновесия Вальраса
- •3.8. Рыночное равновесие в модели Леонтьева
- •3.9. Пример построения производственной функции
- •Значения коэффициентов парной корреляции
- •3.10. Производственные функции и прогнозирование
- •4. Модели оптимального планирования
- •4.1. Оптимизация прибыли предприятия
- •Исходные данные для предельного анализа
- •4.2. Оптимизация прибыли методами математического программирования
- •Исходные данные для решения задачи оптимизации
- •4.3. Оптимизация прибыли при ограничениях на используемые ресурсы
- •Исходные данные по изделиям
- •Результаты расчета Таблица 4.8
- •4.4. Планирование оптимальной мощности строительного предприятия
- •Для решения задачи на пк коэффициенты целевой функции, матрицы ограничений и правые части ограничений необходимо записать в виде симплекс-матрицы (табл.4.10).
- •Оптимальное значение целевой функции – 240,000.
- •4.5. Модели стохастического программирования
- •4.6. Модели оптимального планирования транспортного типа
- •4.7. Решение задач по планированию перевозок
- •4.8. Производственно-транспортные модели
- •4.9. Транспортные модели с промежуточными пунктами
- •4.10. Модели параметрического программирования
- •4.11. Модель распределения инвестиционных ресурсов между строительными организациями, прошедшими конкурсный отбор
- •4.12. Производственно-транспортная задача прикрепления источников теплоснабжения к потребителям продукции
- •5. Матричные игры
- •5.1. Классификация матричных игр
- •5.2. Игры с нулевой суммой
- •5.3. Решение игры в чистых стратегиях
- •5.4. Решение игры в смешанных стратегиях
- •Очевидным следствием из теоремы о минимаксе является соотношение
- •5.5. Игры с ненулевой суммой и кооперативные игры
- •5.6. Введение в теорию игр п лиц
- •5.7. Позиционные игры
- •5.8. Выбор оптимальной стратегии в условиях неопределенности (игры с природой)
- •5.8.1. Специфика ситуации полной неопределенности
- •5.8.2. Критерии выбора оптимальной стратегии
- •5.9. Применение теории матричных игр в управлении
- •5.10. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования Рассмотрим игру, платежная матрица которой имеет размерность
- •5.11. Решение игры с применением процессора электронных таблиц
- •5.12. Определение победителя подрядных торгов с применением теории игр
- •6. Имитационное моделирование
- •6.1. Метод Монте-Карло
- •7. Моделирование систем массового обслуживания
- •7.1. Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания
- •7.2. Многоканальная модель с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания
- •8. Модели оценки эффективности инвестиционных проектов
- •8.1. Расчет абсолютных и относительных показателей эффективности проекта
- •8.2. Применение процессоров электронных таблиц для оценки эффективности инвестиций
- •8.3. Оптимальное планирование портфеля инвестиций
- •8.4. Учет факторов риска при оценке инвестиций
- •8.5. Определение уровня недиверсифицируемого риска методом корреляционно-регрессионного анализа
- •Исходные данные для расчета
- •9. Модели оценки финансового состояния предприятия
- •9.1. Виды моделей
- •9.2. Статическая и динамическая модели оценки финансового
- •Коэффициенты рентабельности
- •Оценка деловой активности
- •Оценка финансовой устойчивости
- •Оценка платежеспособности и ликвидности
- •Рекомендуемые значения оцениваемых показателей
- •Вопросы и задания
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Экономико-математические методы и модели
- •394006 Г.Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
Для решения задачи на пк коэффициенты целевой функции, матрицы ограничений и правые части ограничений необходимо записать в виде симплекс-матрицы (табл.4.10).
Таблица 4.10
Симплекс-матрица
Номер строки |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Вид связи |
Правая часть |
|
26,50 |
4,80 |
0,39 |
|
max |
1 |
4,14 |
1,11 |
0,31 |
|
47,18 |
2 |
134,41 |
22,91 |
16,43 |
|
1257,80 |
3 |
2,03 |
0,14 |
0,18 |
|
14,35 |
4 |
1 |
|
|
|
4 |
5 |
1 |
|
|
|
6 |
6 |
|
1 |
|
|
15 |
7 |
|
1 |
|
|
30 |
8 |
|
|
1 |
|
5 |
9 |
|
|
1 |
|
8 |
В результате получено решение (табл. 4.11).
Таблица 4.11
Результат решения
Индексы базисных переменных |
Оптимальное значение базисных переменных |
X1 |
5,00 |
Х2 |
4,98 |
X3 |
22,11 |
Оптимальное значение целевой функции – 240,000.
Таким образом, с учетом свободного члена уравнения регрессии, равного 168,22, получим оптимальное значение объема СМР:
Y = 240,000 – 168,22 = 71,78 млн р.
При этом оптимальные значения искомых переменных будут следующими:
X1= 4,98 тыс. чел. - численность работников предприятия;
X2= 22,11 млн р. - среднегодовая стоимость активной части основных производственных фондов;
X3 = 5,00 - количество подразделений предприятия.
Значение показателей, включаемых в ограничения задачи, будут такими:
выработка на одного работника предприятия:
себестоимость:
,
фондоотдача:
Таким образом, все ограничения задачи выполняются:
- выработка расчетная равна 14,27 р., что больше выработки плановой, равной 14,24;
- себестоимость расчетная составляет 67,3 млн р. и равна себестоимости плановой;
- фондоотдача расчетная, равная 3,13 р., больше фондоотдачи плановой, равной 3,12 р.
4.5. Модели стохастического программирования
Стохастическое программирование - это метод решения задач на оптимум в условиях неопределенности, случайности. При решении экономических задач на максимум прибыли или минимум затрат показатели будущей прибыли или затрат, строго говоря, являются величинами случайными. Предполагая, что эти величины детерминированные (наперед заданные), мы делаем известные допущения.
Определить будущие затраты или прибыль абсолютно точно невозможно, поэтому правильнее считать их равными некоторой предполагаемой величине, умноженной на коэффициент, являющийся случайной величиной. В детерминированной постановке этот коэффициент принимают равным единице.
Пример постановки задачи в детерминированной форме.
Целевая функция:
(4.45)
при ограничениях:
(4.46)
(4.47)
В качестве исходных данных необходимо задавать значения параметров cj, aij, bi, dj, Dj, входящих в ЭВМ. В практических расчетах принимают, что эти значения являются детерминированными, т.е. не зависят от случайных факторов.
Однако на самом деле только параметры dj и Dj, устанавливающие предельно допустимые значения xj, по смыслу будут детерминированными, остальные параметры сi, аij, bj- случайные величины. Например, если ресурсом являются машины, то его величина зависит от надежности работы машин, их технического состояния. Аналогичное утверждение относится к сj и аij. Таким образом, в общем случае cj ,aij и bi являются случайными величинами.
Задачу со случайными параметрами обычно называют задачей стохастического программирования (СТП). С точки зрения полноты описания случайной величины рассмотрим два варианта:
1. Известны только диапазоны, в которых могут изменяться случайные величины. Такие задачи называют задачами планирования при полной неопределенности.
2. Известны законы распределения случайных величин. Такие задачи называют задачами планирования в условиях риска.
При планировании в условиях полной неопределенности считаем, что на основе анализа предшествующих периодов и характера производства для каждого из случайных параметров удается установить диапазоны их возможного изменения:
(4.48)
, (4.49)
(4.50)
Рассчитаем план для 2-х разных случаев.
Первый случай. Худшим (пессимистическим) будет такой план, в котором ресурсы, принимаем наименьшими - min bi , а их расход наибольшим - max aij . Ожидаемая прибыль будет находиться на нижнем пределе min cj . Подставив эти значения, получим обычную задачу линейного программирования. Если она имеет решение, получим пессимистический план производства min xj (j=1,n), выполнение которого гарантировано, но этот план дает низкий экономический эффект.
Второй случай. Лучшим (оптимистическим) будет такой план, в котором ресурсы, имеющиеся на предприятии, принимаем наибольшими - max bi, прибыль с каждого изделия наибольшая - max ci.
Решив задачу при указанных значениях параметров, найдем оптимистический вариант плана, который дает наибольший экономический эффект, но выполнение которого не гарантировано.
Задача в пессимистической постановке может оказаться несовместной.
Во втором случае, когда известны законы распределения случайных величин, задачу СТП можно сформулировать следующим образом.
Если в целевой функции задачи ЛП
(4.51)
где Сj - случайные величины, то обычно принимается максимизация (минимизация) математического ожидания целевой функции:
(4.52)
что можно записать так:
(4.53)
где - математическое ожидание случайной величиныCj.
Ограничения. В задаче СТП возможны следующие варианты ограничений:
(4.54)
(4.55)
(4.56)
(4.57)
где аij и bi - случайные величины, di - заданные уровни вероятности.
Обозначим:
(4.58)
где Yi - случайная величина.
Обычно принимают, что случайные величины cj,aij,bi,yi подчиняются закону нормального распределения с известным математическим ожиданием и дисперсией.
Подставив (4) в неравенство (3), получим:
(4.59)
(4.60)
(4.61)
(4.62)
Случайная величина yi при независимых di и Qi будет иметь математическое ожидание и дисперсию:
(4.63)
(4.64)
где - дисперсия случайной величины bi. Для первого варианта ограничения (4.54) можно записать:
(4.65)
где tdi - коэффициент, учитывающий закон распределения случайной величины, определяемый аналитически или таблично в зависимости от значения вероятности di;
yi - среднеквадратическое отклонение случайной величины yi.
Подставив в (4.63) значения Yi и i , получим
(4.66)
После преобразований:
(4.67)
Если сравним выражение (4.67) с аналогичным ограничением в детерминированной постановке
(4.68)
то увидим, что ограничение в стохастической постановке отличается двумя признаками:
1) выполнен переход от детерминированных значений к математическим ожиданиям случайных величин Qij и bi ;
2) появился дополнительный член:
(4.69)
который учитывает все вероятностные характеристики задачи:
- закон распределения с помощью tdi;
- заданный уровень вероятности di, дисперсию случайных величин Qij, равную и дисперсию случайных величинbi, равную . Таким образом, получим
(4.70)
Решение задач стохастического программирования в такой постановке возможно методами сепарабельного программирования, потому что ограничения задачи не являются линейными функциями.
Поскольку в ограничениях появился дополнительный положительный член , это приведет к тому, что потребуется большая величина ресурса bi по сравнению с детерминированной постановкой.