- •Введение
- •Понятие об экономико-математических методах и моделях
- •1.1.Определение модели и цели моделирования
- •1.2. Последовательность построения экономико-математической модели
- •1.3. Классификация экономико-математических методов
- •1.4. Классификация экономико-математических моделей
- •1.5. Объекты моделирования
- •1.6. Цель, критерий и ограничения в экономико-математических моделях
- •2. Математические модели рынка
- •2.1. Понятие рыночного равновесия
- •2.2. Паутинообразная модель рынка
- •2.3. Существование и единственность рыночного равновесия
- •2.4. Государственное регулирование рынка. Налоги
- •. Дотации
- •2.6. Фиксированные цены
- •2.7. Оценка прибыли и убытков при государственном регулировании рынка
- •2.8. Поддержание стабильных цен и производственные квоты
- •2.9. Принципы ценообразования в рыночной экономике. Диверсификация цен
- •2.9.1. Диверсификация цен в зависимости от дохода покупателя
- •2.9.2. Диверсификация цен в зависимости от объема потребления
- •2.9.3. Диверсификация цен по категориям товаров
- •Совокупная прибыль
- •2.9.4. Диверсификация цен по времени
- •3. Производственные функции
- •3.1. Виды производственных функций
- •3.2. Функция Кобба-Дугласа
- •3.3. Модель Солоу
- •3.4. Модель Стоуна
- •3.5. Двойственная задача потребительского выбора
- •3.6. Функция спроса Маршалла
- •3.7. Модель общего равновесия Вальраса
- •3.8. Рыночное равновесие в модели Леонтьева
- •3.9. Пример построения производственной функции
- •Значения коэффициентов парной корреляции
- •3.10. Производственные функции и прогнозирование
- •4. Модели оптимального планирования
- •4.1. Оптимизация прибыли предприятия
- •Исходные данные для предельного анализа
- •4.2. Оптимизация прибыли методами математического программирования
- •Исходные данные для решения задачи оптимизации
- •4.3. Оптимизация прибыли при ограничениях на используемые ресурсы
- •Исходные данные по изделиям
- •Результаты расчета Таблица 4.8
- •4.4. Планирование оптимальной мощности строительного предприятия
- •Для решения задачи на пк коэффициенты целевой функции, матрицы ограничений и правые части ограничений необходимо записать в виде симплекс-матрицы (табл.4.10).
- •Оптимальное значение целевой функции – 240,000.
- •4.5. Модели стохастического программирования
- •4.6. Модели оптимального планирования транспортного типа
- •4.7. Решение задач по планированию перевозок
- •4.8. Производственно-транспортные модели
- •4.9. Транспортные модели с промежуточными пунктами
- •4.10. Модели параметрического программирования
- •4.11. Модель распределения инвестиционных ресурсов между строительными организациями, прошедшими конкурсный отбор
- •4.12. Производственно-транспортная задача прикрепления источников теплоснабжения к потребителям продукции
- •5. Матричные игры
- •5.1. Классификация матричных игр
- •5.2. Игры с нулевой суммой
- •5.3. Решение игры в чистых стратегиях
- •5.4. Решение игры в смешанных стратегиях
- •Очевидным следствием из теоремы о минимаксе является соотношение
- •5.5. Игры с ненулевой суммой и кооперативные игры
- •5.6. Введение в теорию игр п лиц
- •5.7. Позиционные игры
- •5.8. Выбор оптимальной стратегии в условиях неопределенности (игры с природой)
- •5.8.1. Специфика ситуации полной неопределенности
- •5.8.2. Критерии выбора оптимальной стратегии
- •5.9. Применение теории матричных игр в управлении
- •5.10. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования Рассмотрим игру, платежная матрица которой имеет размерность
- •5.11. Решение игры с применением процессора электронных таблиц
- •5.12. Определение победителя подрядных торгов с применением теории игр
- •6. Имитационное моделирование
- •6.1. Метод Монте-Карло
- •7. Моделирование систем массового обслуживания
- •7.1. Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания
- •7.2. Многоканальная модель с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания
- •8. Модели оценки эффективности инвестиционных проектов
- •8.1. Расчет абсолютных и относительных показателей эффективности проекта
- •8.2. Применение процессоров электронных таблиц для оценки эффективности инвестиций
- •8.3. Оптимальное планирование портфеля инвестиций
- •8.4. Учет факторов риска при оценке инвестиций
- •8.5. Определение уровня недиверсифицируемого риска методом корреляционно-регрессионного анализа
- •Исходные данные для расчета
- •9. Модели оценки финансового состояния предприятия
- •9.1. Виды моделей
- •9.2. Статическая и динамическая модели оценки финансового
- •Коэффициенты рентабельности
- •Оценка деловой активности
- •Оценка финансовой устойчивости
- •Оценка платежеспособности и ликвидности
- •Рекомендуемые значения оцениваемых показателей
- •Вопросы и задания
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Экономико-математические методы и модели
- •394006 Г.Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
5.2. Игры с нулевой суммой
Игра двух лиц с нулевой суммой задается следующими условиями:
- имеются два игрока, стратегии одного из которых расположены по строкам (первый игрок), а другого по столбцам (второй игрок) (табл. 5.1);
- каждый игрок выбирает одну из своих стратегий независимо от другого: первый одну из т стратегий, второй одну из п;
- если первый игрок выбирает стратегию i, а второй стратегию j, то первый игрок получает выигрыш aij, который интерпретируется как платеж от второго игрока.
Такая игра называется игрой двух лиц с нулевой суммой и представляется в виде матрицы игры (табл. 5.1), которая содержит выигрыши первого игрока (или, как отмечалось, проигрыши второго игрока).
Таблица 5.1
Общий вид матрицы игры
|
Стратегия 1 игрока 2 |
Стратегия 2 игрока 2 |
….. |
Стратегия пигрока 2 |
Стратегия 1 игрока 1 |
a11 |
a12 |
….. |
a1n |
Стратегия 2 игрока 1 |
a21 |
a22 |
….. |
a2n |
|
……. |
……. |
….. |
…… |
Стратегия m игрока 1 |
am1 |
am2 |
….. |
amn |
В табл. 5.2 приведена некоторая конкретная матрица игры, согласно которой выигрыш первого игрока составит 2 единицы (табл. 5.2), если первый игрок выберет свою вторую стратегию, а второй игрок свою первую стратегию.
Таблица 5.2
Матрица игры
|
Стратегия 1 |
Стратегия 2 |
Стратегия 3 |
Стратегия 4 |
Стратегия 1 |
1 |
2 |
3 |
-1 |
Стратегия 2 |
2 |
1 |
-2 |
0 |
В игре с нулевой суммой сумма выигрышей игроков всегда равна нулю. Как уже отмечалось, плательщиком выигрыша первого игрока является второй игрок. Таким образом, какая-либо кооперация между ними невозможна.
5.3. Решение игры в чистых стратегиях
Предполагается, что каждый из игроков знает стратегию своего противника и платежную матрицу игры. Рассмотрим с этой точки зрения некоторую конкретную игру (табл. 5.3).
Таблица 5.3
Поиск решения
|
Стратегия 1 |
Стратегия 2 |
Стратегия 3 |
Минимум по строкам |
Стратегия 1 |
4 |
4 |
10 |
4 |
Стратегия 2 |
2 |
3 |
1 |
1 |
Стратегия 3 |
6 |
5 |
7 |
5 |
Максимум по столбцам |
6 |
5 |
10 |
|
Как должен играть первый игрок? Если первый игрок выберет свою первую стратегию, то второй игрок, очевидно, выберет первую или вторую, поскольку в этом случае его потери будут минимальными - 4 единицы. Значение «4» является минимальным в первой строке. Рассуждая аналогично, легко видеть, что если первый игрок выбирает свою вторую стратегию, то второй игрок выбирает 3-ю, проигрывая при этом 1. Если первый игрок выбирает стратегию 3, то второй стратегию 2 с проигрышем 5. В крайнем правом столбце табл. 5.3 записаны минимумы по строкам. Логично предположить, что первый игрок будет выбирать стратегию, обеспечивающую ему выигрыш максимального из этих значений.
Мы доказали, что первый игрок может гарантированно выиграть, по крайней мере, 5 единиц. Он понимает, что на большее он рассчитывать не может, так как, выбирая стратегию 2, второй игрок обеспечивает выигрыш первого не более 5.
Матрица удовлетворяет условию седловой точки в том случае, если
max (минимумы по строкам) = min (максимум по столбцам) или
v=max min aij = min max aij . (5.1)
i j j i
Величина v=max min aij, называется нижней ценой игры, или макси-
i j
мальным гарантированным выигрышем первого игрока (максимином).
Величина v=min max aij называется верхней ценой игры, или макси-
j i
мальным гарантированным проигрышем второго игрока (минимаксом).
Матрица, которую мы рассматриваем, удовлетворяет условию седловой точки (5.1):
max (минимумы по строкам) = min (максимум по столбцам). (5.2)
Если выполнено условие (5.1), то игра имеет седловую точку.
Если игра имеет седловую точку, то первый игрок может выбирать любую стратегию, для которой реализуется максимум в левой части соотношения (5.1) (максиминная стратегия), а второй игрок может выбрать любую стратегию, на которой реализуется минимум в правой части соотношения (5.1) (минимаксная стратегия).
Если игра имеет седловую точку, то общее значение v, которое достигается слева и справа в соотношении (5.1), называется ценой игры.
Седловая точка может рассматриваться как точка равновесия в том смысле, что отклонение от нее для каждого из игроков невыгодно. Действительно, в нашем примере если первый игрок сменит свою оптимальную стратегию 2 на 1 или 3, то выигрыш первого (соответственно проигрыш второго) увеличится.
В итоге будет разумно ожидать, что в описанной выше игре противники будут придерживаться избранных стратегий. Матричная антагонистическая игра, для которой max min aij = min max aij , называется вполне определенной, или игрой, имеющей решение в чистых стратегиях.