5.9. Применение теории матричных игр в управлении

Теория игр рассматривает задачи выбора оптимальных решений с учетом возможных действий других участников и случайных событий.

В игре могут сталкиваться интересы двух и более противников.

В первом случае игра называется парной, во втором - множественной. Рассмотрим парные игры, а участников игры обозначим А и В. Предположим, что интересы участников поддаются количественному описанию, т.е. результат игры определяется некоторым числом.

Задачей теории игр является выработка рекомендаций для игроков, т.е. определение оптимальной стратегии, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш.

Рассмотрим применение теории игр на примере взаимодействия 2-х строительных организаций - заказчика и подрядчика.

Допустим, что СМУ заключило договор с заводом ЖБИ на централизованную поставку раствора на 180 тыс. р. Если в течение дня раствор не поступит, заказчик терпит убытки в сумме 530 тыс. р. из-за простоя.

СМУ может послать на ЖБИ собственный транспорт, дополнительные расходы при этом составят 70 тыс.р. Однако опыт предыдущей работы показал, что это увеличивает надежность поставок только на 50%.

Можно увеличить вероятность получения раствора до 70%, послав на завод своего представителя. Дополнительные затраты при этом составят 60 тыс.р.

Если произвести предварительную оплату работ в размере 100%, то это позволит повысить вероятность выполнения работ в срок до 80%, однако приведет к дополнительным затратам, кроме надбавки за срочность в размере 110 тыс. р.

Можно разместить заказ у другого, абсолютно надежного поставщика по цене, повышенной на 50%. При этом возможны дополнительные расходы, кроме расходов на транспорт, в размере 60 тыс.р., связанные со сверхурочной работой по выработке раствора, поступившего от обоих поставщиков сразу.

Таким образом, заказчик имеет пять своих чистых стратегий:

- ничего не предпринимать;

- оправить собственный транспорт;

• оправить на завод своего представителя;

• произвести предварительную оплату работ;

• разместить заказ у другого, абсолютно надежного подрядчика.

У поставщика имеется две чистые стратегии:

- поставки осуществляются в установленные сроки;

- поставки не выполняются в установленные сроки.

Затраты заказчика, в зависимости от его различных стратегий и стратегии подрядчика (П₁ - поставка выполнена своевременно, П₂  - поставка не выполнена в договорные сроки), представлены в табл. 6.6.

Рассмотрим, например, как получены суммарные затраты заказчика при применении им 3-й стратегии, а поставщиком - 2-й (поставки нет).

При 3-й стратегии вероятность поставки в срок составляет 70%, следовательно, вероятность того, что поставка не будет выполнена своевременно - 30%. Стоимость раствора составит

(180×70)/100=126 тыс. р.

Убытки, связанные с простоем производства, составят

(530×30)/100=159 тыс. р.

Транспортные расходы – 70 тыс.р. и дополнительные затраты, связанные с командированием своего представителя, – 60 тыс.р.

Доплата за срочность составит 100 тыс.р., дополнительные затраты на авансирование работ – 60 тыс. р. Суммарные затраты составят 415 тыс.р.

Таблица 5.6

Исходные данные для определения стратегий заказчика

Стратегия	Стоимость раствора, тыс.р.	Затраты от простоя рабочих, тыс.р.	Транспортные расходы, тыс.р.	Командировочные расходы, тыс.р.	Предоплата продукции, тыс.р.	Издержки от реализации раствора, тыс.р.	Итого, тыс.р.
С1→П1	180	0	0	0	0	0	180
С1→П2	0	530	0	0	0	0	530
С2→П1	180	0	70	0	0	0	250
С2→П2	90	265	70	0	0	0	425
С3→П1	180	0	70	60	0	0	310
С3→П2	126	159	70	60	0	0	415
С4→П1	180	0	70	0	110	0	360
С4→П2	144	106	70	0	110	0	430
С5→П1	450	0	70	0	0	60	580
С5→П2	270	0	70	0	0	0	340

Составим матрицу игры, представленную в табл. 5.7.

Таблица 5.7

Исходные данные для определения стратегий ЖБИ

Стратегия СМУ	Стратегия ЖБИ
	П1	П2
С1	-180	-530
С2	-250	-425
С3	-310	-415
С4	-360	-430
С5	-580	-340

Поскольку игроком А по терминологии, принятой выше, является заказчик, то в соответствующих клетках записываем "выигрыш" со знаком минус (убытки).

Задача руководства заказчика - определить оптимальную стратегию, обеспечивающую минимум ожидаемых убытков в условиях неопределенности относительно поведения поставщика.

Решение этой игры можно получить в геометрической интерпретации (рис.5.3). Отложим по горизонтальной оси надежность подрядчика, измеренную вероятностями в диапазоне от 0 до 1 и обозначим ее как Y, а затраты заказчика обозначим через X₁ при наличии поставки, иначе X₂.

Для первой стратегии СМУ (С₁) затраты составят 180 тыс. р. при Y=1 и 530 тыс. р. при Y=0 (поставки нет). Изобразим на графике затраты при применении первой стратегии, изменяющиеся от 180 тыс. р. при абсолютной надежности подрядчика (Y=1) до 530 тыс.р. при нулевой надежности (Y=0), соединив прямой линией ординату X₁=-530 и X₂=-180.

Аналогично построим зависимости затрат заказчика при 2-5 стратегиях. Получим график ожидаемых затрат заказчика при применении своих чистых затрат стратегий против смешанных стратегий поставщика.

Из рисунка видно, что при надежности поставщика от 0 до 0,21 оптимальной является пятая стратегия (C₅), при надежности поставщика от 0,21 до 0,6 оптимальной является вторая стратегия (C₂), а при надежности поставщика от 0,6 до 1 - первая стратегия (С₁).

Мы рассматривали задачу как антагонистическую, что принципиально неверно, поскольку поставщик не стремится нанести СМУ максимальный ущерб. Поэтому его надежность может быть и не наихудшей с точки зрения СМУ.

Неантагонистические игры, когда действия второго игрока зависят не от его сознательной деятельности, а от объективной действительности, называют играми с природой. Второй игрок (природа) действует случайно, в условиях неопределенности (климатические условия, спрос на продукцию и т.д.).

В играх с природой применяют следующие критерии:

1. Максиминный критерий Вальда:

В соответствии с максимальным критерием Вальда оптимальной является 3-я стратегия (послать на ЖБИ свой транспорт и представителя).

2. Максимаксный критерий (абсолютного оптимизма):

В соответствии с этим критерием выбираем 1-ю стратегию (ничего не предпринимать), представленную на рис. 5.3.

Рис. 5.3. Геометрическая интерпретация решения

3. Критерий Сэвиджа (критерий минимакса риска). Суть критерия состоит в выборе такого решения, при котором минимизируются потери из-за ошибочных решений. Для этого строится матрица рисков по условию:

(5.13)

В нашем случае матрица рисков имеет вид

.

Затем определяют

Таким образом, согласно критерию Сэвиджа, оптимальной является 2-я стратегия (послать на ЖБИ свой транспорт).