- •Введение
- •Понятие об экономико-математических методах и моделях
- •1.1.Определение модели и цели моделирования
- •1.2. Последовательность построения экономико-математической модели
- •1.3. Классификация экономико-математических методов
- •1.4. Классификация экономико-математических моделей
- •1.5. Объекты моделирования
- •1.6. Цель, критерий и ограничения в экономико-математических моделях
- •2. Математические модели рынка
- •2.1. Понятие рыночного равновесия
- •2.2. Паутинообразная модель рынка
- •2.3. Существование и единственность рыночного равновесия
- •2.4. Государственное регулирование рынка. Налоги
- •. Дотации
- •2.6. Фиксированные цены
- •2.7. Оценка прибыли и убытков при государственном регулировании рынка
- •2.8. Поддержание стабильных цен и производственные квоты
- •2.9. Принципы ценообразования в рыночной экономике. Диверсификация цен
- •2.9.1. Диверсификация цен в зависимости от дохода покупателя
- •2.9.2. Диверсификация цен в зависимости от объема потребления
- •2.9.3. Диверсификация цен по категориям товаров
- •Совокупная прибыль
- •2.9.4. Диверсификация цен по времени
- •3. Производственные функции
- •3.1. Виды производственных функций
- •3.2. Функция Кобба-Дугласа
- •3.3. Модель Солоу
- •3.4. Модель Стоуна
- •3.5. Двойственная задача потребительского выбора
- •3.6. Функция спроса Маршалла
- •3.7. Модель общего равновесия Вальраса
- •3.8. Рыночное равновесие в модели Леонтьева
- •3.9. Пример построения производственной функции
- •Значения коэффициентов парной корреляции
- •3.10. Производственные функции и прогнозирование
- •4. Модели оптимального планирования
- •4.1. Оптимизация прибыли предприятия
- •Исходные данные для предельного анализа
- •4.2. Оптимизация прибыли методами математического программирования
- •Исходные данные для решения задачи оптимизации
- •4.3. Оптимизация прибыли при ограничениях на используемые ресурсы
- •Исходные данные по изделиям
- •Результаты расчета Таблица 4.8
- •4.4. Планирование оптимальной мощности строительного предприятия
- •Для решения задачи на пк коэффициенты целевой функции, матрицы ограничений и правые части ограничений необходимо записать в виде симплекс-матрицы (табл.4.10).
- •Оптимальное значение целевой функции – 240,000.
- •4.5. Модели стохастического программирования
- •4.6. Модели оптимального планирования транспортного типа
- •4.7. Решение задач по планированию перевозок
- •4.8. Производственно-транспортные модели
- •4.9. Транспортные модели с промежуточными пунктами
- •4.10. Модели параметрического программирования
- •4.11. Модель распределения инвестиционных ресурсов между строительными организациями, прошедшими конкурсный отбор
- •4.12. Производственно-транспортная задача прикрепления источников теплоснабжения к потребителям продукции
- •5. Матричные игры
- •5.1. Классификация матричных игр
- •5.2. Игры с нулевой суммой
- •5.3. Решение игры в чистых стратегиях
- •5.4. Решение игры в смешанных стратегиях
- •Очевидным следствием из теоремы о минимаксе является соотношение
- •5.5. Игры с ненулевой суммой и кооперативные игры
- •5.6. Введение в теорию игр п лиц
- •5.7. Позиционные игры
- •5.8. Выбор оптимальной стратегии в условиях неопределенности (игры с природой)
- •5.8.1. Специфика ситуации полной неопределенности
- •5.8.2. Критерии выбора оптимальной стратегии
- •5.9. Применение теории матричных игр в управлении
- •5.10. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования Рассмотрим игру, платежная матрица которой имеет размерность
- •5.11. Решение игры с применением процессора электронных таблиц
- •5.12. Определение победителя подрядных торгов с применением теории игр
- •6. Имитационное моделирование
- •6.1. Метод Монте-Карло
- •7. Моделирование систем массового обслуживания
- •7.1. Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания
- •7.2. Многоканальная модель с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания
- •8. Модели оценки эффективности инвестиционных проектов
- •8.1. Расчет абсолютных и относительных показателей эффективности проекта
- •8.2. Применение процессоров электронных таблиц для оценки эффективности инвестиций
- •8.3. Оптимальное планирование портфеля инвестиций
- •8.4. Учет факторов риска при оценке инвестиций
- •8.5. Определение уровня недиверсифицируемого риска методом корреляционно-регрессионного анализа
- •Исходные данные для расчета
- •9. Модели оценки финансового состояния предприятия
- •9.1. Виды моделей
- •9.2. Статическая и динамическая модели оценки финансового
- •Коэффициенты рентабельности
- •Оценка деловой активности
- •Оценка финансовой устойчивости
- •Оценка платежеспособности и ликвидности
- •Рекомендуемые значения оцениваемых показателей
- •Вопросы и задания
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Экономико-математические методы и модели
- •394006 Г.Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
2.9.4. Диверсификация цен по времени
Диверсификация цен по времени устанавливается, как правило, на новые виды товаров, при этом определяются кривые спроса для небольшой группы потребителей, высоко оценивающих этот товар (например, видеотехнику или компьютеры) и готовых приобрести его по высокой цене, и кривая D2 для более широкой группы потребителей, готовых воздержатся от покупки, если цена слишком высока. Стратегия заключается том, чтобы предложить товар сначала по цене P1 потребителям первой группы, а затем по цене Р2 - потребителям второй группы (рис.2.24).
Рис. 2.24. Диверсификация цен по времени
Ценообразование при максимальном спросе представляет собой форму диверсификации цен по времени. Для некоторых товаров и услуг спрос достигает максимума в определенные периоды времени (для дорог - в часы пик, для электричества - вечером, для мест отдыха - в выходные дни).
При этом и предельные издержки в это время также возрастают из-за ограничения мощностей. Таким образом, цены будут выше во время пиковых периодов (рис. 2.25).
Рис. 2.25. Диверсификация цен по времени
На рис.2.25 D1 - кривая спроса для пикового периода, D2 - для остального времени. Фирма устанавливает предельный доход, равный предельным издержкам в каждый период, получая высокую цену Р1 в пиковый период и низкую Р2 в остальное время с соответствующими объемами производства Q1 и Q2.
Вопросы и задания
Что показывают графики кривых спроса и предложения?
Определите графически точку рыночного равновесия.
Начертите график спроса и предложения. Определите, как изменится график при росте цены на товар.
Приведите примеры товаров, для которых существует несколько точек рыночного равновесия.
3. Производственные функции
3.1. Виды производственных функций
Производственные функции в широком смысле охватывают моделирование зависимостей, существующих между такими показателями производственной деятельности, как объем выпускаемой продукции, капитальные затраты, фондоотдача, производительность труда и т.д.
В более узком смысле под производственной функцией понимается зависимость выпуска продукции от затрат различных производственных ресурсов. В общем виде функция может быть записана в виде
(3.1)
где - выпуск продукции;
- факторы, определяющие величину выпуска продукции (затраты труда, материалов и т.д.). Зависимость между затратами различных видов ресурсов и объемом выпуска продукции должна быть выражена уравнением множественной регрессии.
При разработке ЭММ нередко исходят из предположения о линейной зависимости между затратами ресурсов и выпуском продукции. Однако предположение о линейном характере зависимости затрат и выпуска продукции является значительно упрощенным. Если по отношению к затратам материалов и сырья это предположение может быть принято, то по отношению машин это предположение не всегда может быть принято.
Построение моделей оптимального планирования, приближающихся к реальной экономической действительности, требуют углубления и уточнения связей между затратами ресурсов и выпуском продукции.
Наиболее часто в качестве нелинейной функции используется уравнение
(3.2)
Этому уравнению соответствует линейно-логарифмическая функция
(3.3)
Для каждого фактора можно определить абсолютную скорость, с которой в пределе возрастает выпуск продукции с ростом затрат данного фактора. Эта скорость определяется как частная производная выпуска продукции по затратам данного вида ресурсов:
. (3.4)
Абсолютная скорость зависит от величины всех компонентов уравнения. Отношения частных производных для двух каких-либо факторов служат своеобразными нормами заменяемости этих ресурсов с точки зрения производства данной продукции.
Наряду с абсолютной скоростью большой интерес представляет изменение выпуска продукции при увеличении затрат ресурсов данного вида на 1%.
Для получения относительной скорости нужно величину абсолютной скорости умножить на отношение затрат ресурсов к выпуску продукции.
Так, для первого фактора относительная скорость составляет
(3.5)
Относительная скорость изменения объема выпуска продукции от изменения затрат на 1 % называется эластичностью выпуска по затратам и обозначается символом Е. Для любого i фактора выполняется условие
. (3.6)
Таким образом, для уравнения типа (3.2) эластичность выпуска продукции для каждого фактора является величиной постоянной и равна соответствующему коэффициенту уравнения регрессии. При любом объеме затрат и выпуска увеличение затрат i-го вида ресурсов на 1 % ведет к увеличению выпуска продукции на %.
Будем предполагать, что фирма производит n различных видов продукции. Обозначим через q=(q1, ….. qn)T вектор выпуска, компонентами которого являются выпуски каждого конкретного вида продукции. Предположим, что для осуществления выпуска используется m видов факторов производства. Обозначим через x=(x1, ….. xm)T вектор затрат факторов производства, компонентами которого являются объемы потребления каждого конкретного фактора.
Множество векторов выпуска продукции образуют так называемое пространство выпуска:
(3.7)
Множество векторов затрат факторов производства образуют так называемое пространство затрат:
(3.8)
Технологическая связь между затратами факторов производства и объемом выпуска продукции описывается с помощью производственной функции.
Функция q=f(x), которая каждому вектору затрат из пространства затрат ставит в соответствие максимальный выпуск, который может быть произведен при данных затратах, называется производственной функцией фирмы.
В общем случае производственную функцию можно записать в неявной форме:
где A представляет собой технологическую матрицу размерами n x m.
Если в качестве независимых аргументов рассматриваются затраты, то производственную функцию называют функцией выпуска. Если в качестве независимых аргументов рассматриваются объемы выпуска, то производственную функцию называют функцией затрат. В дальнейшем для простоты выкладок мы будем предполагать, что фирма выпускает только один вид продукции.
С понятием производственной функции связано понятие предельного продукта.
Предельным продуктом i-го фактора производства (MPi-marginal product (англ.)) называют дополнительный объем выпуска, который будет произведен при потребления каждой дополнительной единицы данного фактора:
(3.9)
Производственная функция обладает следующими свойствами.
1. C увеличением потребления какого-либо фактора значение выпуска продукции возрастает:
(3.10)
2. C увеличением объема потребления какого либо фактора скорость выпуска продукции убывает:
(3.11)
3. Производственная функция является однородной функцией своих аргументов:
(3.12)
где β представляет собой степень однородности.
Рассмотрим основные виды производственных функций:
1. Неоклассическая производственная функция (производственная функция Кобба-Дугласа):
(3.13)
Здесь величины a1, ….. am представляют эластичности выпуска к изменению объема соответствующего фактора производства, А- масштабирующий множитель.
2. Производственная функция «затраты-выпуск» (функция Леонтьева):
. (3.14)
Эта функция задает пропорции, в которых осуществляется потребление затрат факторов производства для осуществления выпуска одной единицы продукции. Величины a1, ….. am представляют собой пропорции объемов потребления соответствующих факторов производства.
3. Линейная производственная функция:
. (3.15)
Данное семейство функций полезности описывает ситуацию, когда факторы производства являются полностью взаимозаменяемыми. Коэффициенты a1,…..am представляют собой пропорции, в которых один фактор может быть заменен другим.
Переменные издержки касаются использования имеющихся в распоряжении фирмы факторов производства и изменяются в соответствии с объемом выпуска продукции.