- •Лекционный курс
- •Раздел 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии
- •Тема 1. Элементы векторной алгебры и ее приложения.
- •1.1. Линейные операции над векторами
- •1.2. Скалярное произведение векторов
- •1.3. Векторное произведение векторов
- •1.4. Типовые задачи, решаемые средствами векторной алгебры
- •1.5. Линейное, евклидово и нормированное пространства.
- •Тема 2. Матрицы и определители
- •2.1. Понятие матрицы и действия с ними.
- •2.2. Транспонирование матриц
- •2.3. Произведение матриц.
- •2.4. Ранг матрицы
- •2.5. Понятие обратной матрицы
- •2.6.Определители и их свойства.
- •2.7. Линейные операторы и матрицы
- •2.8. Задача о собственных значениях
- •2.9. Свойства симметрических матриц
- •2.10. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду
- •Тема 3. Системы линейных уравнений
- •3.1.Формулы Крамера
- •3.2. Метод Гаусса.
- •3.3.Матричный метод решения линейной системы.
- •3.4. Понятие о приближенных методах решения линейных систем
- •Тема 4. Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве.
- •4.1. Уравнения линий и поверхностей
- •4.2. Уравнение 1-й степени на плоскости
- •4.3. Уравнения первой степени в пространстве
- •4.4. Уравнения первой степени в пространстве
- •4.5. Типовые задачи на плоскость в пространстве.
- •4.6. Уравнения 2-й степени на плоскости.
- •4.7. Уравнения 2-й степени в пространстве
- •4.8. Цилиндры и поверхности вращения
- •Раздел 2. Математический анализ и дифференциальные уравнения.
- •Тема 5.Функции и их свойства
- •5.1. Функция, способы ее задания, свойства, график функции, преобразование графика сдвигом и деформацией.
- •Тема 6. Пределы и непрерывность.
- •6.1. Понятие предела
- •6.2. Замечательные пределы.
- •6.3. Алгоритм вычисления пределов.
- •6.4. Примеры эквивалентных бмв.
- •Тема 7. Производная и дифференциал функции.
- •7.1. Понятие производной
- •7.2. Дифференциальное исчисление функции одного переменного.
- •7.3. Из определения вытекает алгоритм вычисления производной.
- •7.4.Таблица и основные правила.
- •7.5. Производная и дифференциал.
- •7.6. Производная и дифференциал высшего порядка.
- •Тема 8. Приложения производной
- •8.2.Приложение производной к исследованию функций.
- •Тема 9. Неопределенный интеграл.
- •9.1.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства
- •9.3.Методы интегрирования.
- •9.4.Рациональные дроби.
- •9.4.Рациональные тригонометрические функции.
- •9.5.Простейшие иррациональные выражения.
- •Тема 10. Определенный интеграл.
- •Методы нахождения определенного интеграла
- •10. 2.Несобственные интегралы.
- •Тема 11. Дифференциальные уравнения.
- •11.1 Определение дифференциального уравнения
- •11.2. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка. Методы Их Решения.
- •Тема 12 Функции нескольких переменных
- •12.1.Основные понятия
- •12.2.Непрерывность функций нескольких переменных
- •12.3.Частные производные и дифференциалы
- •12.4. Производная по направлению и градиент
- •12.5. Производная сложной функции нескольких переменных
- •12.6. Производные и дифференциалы высших порядков
- •12.7. Производные неявных функций
- •12.8.Экстремумы функций нескольких переменных
- •Раздел 3. Ряды.
- •Тема 13. Числовые и степенные ряды.
- •Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика
- •Тема 14. Основные понятия теории вероятностей.
- •1. Понятие события.
- •2. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
- •3. Статистическое определение вероятности.
- •4. Элементы комбинаторики
- •Тема 15. Основные теоремы теории вероятностей и следствия из них.
- •15.1.Теорема сложения.
- •15.2. Условная вероятность события. Теорема умножения
- •15.3. Вероятность появления хотя бы одного события
- •15.4. Формула полной вероятности.Формула Байеса.
- •15.5. Повторные независимые испытания
- •15.6. Локальная теорема Муавра- Лапласа
- •15.7. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •Тема 16. Случайные величины и способы их описания
- •16.1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные
- •16.2. Функция распределения случайной величины. График функции
- •16.4. Равномерный закон распределения.
- •16.6. Правило «трех сигм».
- •16.7. Показательное распределение.
- •16.8. Функция надежности.
- •16.9. Показательный закон надежности.
- •16.10. Математическое ожидание.
- •16.11. Дисперсия.
- •16.12. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •16.13. Числовые характеристики случайных величин, имеющих некоторые стандартные законы распределения.
- •1. Биномиальное распределение.
- •2. Закон Пуассона.
- •3. Равномерное распределение.
- •4. Нормальное распределение.
- •16.14. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли.
- •Корреляционный анализ.
- •Глоссарий
- •Темы контрольных работ.
- •Основная литература
- •Дополнительная литература
4.3. Уравнения первой степени в пространстве
Определение. Уравнением второго порядка в пространстве (уравнением поверхности 2-го порядка) называют уравнение вида
a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+a41x+a42y+a43z+ a44=0 (3)
Мы познакомимся только с уравнением (6.3), в котором отсутствуют произведения текущих координат. В этом случае имеется возможность выделить полные квадраты по переменным и получить уравнение поверхности в каноническом виде. Последние и будем изучать более подробно.
Для исследования канонических уравнений поверхностей второго порядка используют метод сечений. В самом простом виде он выглядит так: проводят серии плоскостей, параллельных координатным плоскостям и по результатам (виду сечений) делают вывод о форме поверхности. Эта работа похожа на работу томографа при исследовании внутренних органов человека в медлабораториях или работу топографа при топографической съемке местности.
Реализуем метод при построении поверхности ++=1.
Рассечем поверхность плоскостями z=h. Тогда в сечении получим
+=1- ,
Из этой системы видно, что h не может превышать z=h. Что означает – поверхность расположена между двумя плоскостями – выше h=-c и ниже h=c. Более того, в сечениях получаются эллипсы, самый большой из которых расположен в плоскости z=0. Чем дальше от плоскости хОу, тем меньше эллипс. И на высоте с эллипс вырождается в точку.
Если провести аналогичные серии плоскостей . параллельных другим координатным плоскостям, то получим похожие выводы. Следовательно, поверхность образована скольжением эллипсов по эллипса и называется трехосным эллипсоидом.
4.4. Уравнения первой степени в пространстве
Всякую плоскость в пространстве геометрически однозначно задать:
-точкой Мо(хо;уо ,zо;) на плоскости и вектором (А;В;С) нормальным к ней;
-точкой Мо(хо;уо ,zо;) и расстоянием d от начала координат до плоскости;
-тремя точками на плоскости;
-двумя точками на плоскости и вектором, параллельным ей и т.д.
Во всех случаях – это задачи 2-го типа и решаются они по одной схеме. Пусть плоскость задана точкой Мо(хо;уо ,zо;) и вектором (А;В;С) нормальным к ней. Тогда возьмем на плоскости точку М(х;у;z). И тогда векторы М Мо и будут ортогональны и получим А(х- хо)+В(у- уо)+С(z- zо)=0 – уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно вектору. Если раскрыть скобки и привести подобные, то получим общее уравнение плоскости Ах+Ву+Сz+D=0. Из этого уравнения видно, что всякое уравнение первой степени с тремя переменными – уравнение плоскости в пространстве. Можно рассматривать частные его случаи в зависимости от значений коэффициентов А,В,С,D.
4.5. Типовые задачи на плоскость в пространстве.
1.Разные виды уравнений и переходы от одного к другому виду.
2.Расстояние от точки до плоскости.
3.Угол между плоскостями (и взаимное расположение плоскостей).
4.Точка пересечения плоскостей.
5.Пучок плоскостей и др. более сложные задачи.
Комментарий. Следует запомнить жестко наиболее простую для аналитической геометрии ситуацию : для поиска уравнения плоскости следует указать точку, через которую плоскость проходит, и вектор, нормальный плоскости.
Прямую линию в пространстве в аналитической геометрии задают в виде пересечения двух плоскостей или .
Можно того же результата добиться, задав прямую проходящей через две заданные точки Мо(хо;уо ,zо) и М1(х1;у1;z1). Тогда из условий параллельности (коллинеарности) векторов ММо и МоМ1 получим . Если же обозначить вектор МоМ1= (m;n;p), то получим канонические уравнения прямой в пространстве . В последних двух способах задания прямой в пространстве “потеряны” уравнения двух плоскостей. Комментарием к этому может служить такое указание – мы имеем равенство трех отношений. Так что , фактически, мы имеет даже три плоскости вместо двух (если сравнивать по два разных отношения, то всегда получится уравнение первого порядка в пространстве – уравнение плоскости). Особенностями этих плоскостей будет следующее – каждая из них является проектирующей данную прямую на некоторую координатную плоскость (в каждом уравнении плоскости только две переменные – значит плоскость перпендикулярна координатной плоскости).
Важно уметь делать переход от одного вида уравнения к другому и понимать смысл этих математических действий в геометрии.
Пример 6.2. Найти, если таковая имеется, точку пересечения трех плоскостей
Решение. Сразу видно, что ранг основной и расширен ной матрицы не больше 3 и не меньше 2. Для уточнения вычислим ==0.
Т.о. r(A)=2.
Для расширенной матрицы имеем =0.
Т.е. r(A)’=3.
Система противоречива – точки пересечения нет. Геометрически это говорит в данном случае о такой ситуации: параллельных плоскостей нет; следовательно плоскости попарно пересекаются и образуют подобие треугольной призмы.
При взаимном расположении прямой и плоскости следует учитывать, что: плоскость характеризуется нормалью и точкой Мо(хо;уо ,zо) на плоскости, а прямая – направляющим вектором (m;n;p) и точкой М1(х1;у1;z1) на прямой .
Так, если плоскость параллельна прямой , то имеем всегда =0, а если плоскость перпендикулярна прямой, то всегда коллинеарен. Если требуется найти точку пересечения прямой и плоскости, то систему
можно (и даже лучше) решать так: последнее отношение приравнять параметру t; затем выразить через параметр переменные x,y,z (x=mt+ хо, e=nt+yо, z=pt+zо; затем найденное подставить в уравнение плоскости и найти значение параметра t для точки пересечения; после этого вычислить координаты точки пересечения через значение параметра.