2.7. Линейные операторы и матрицы

Определение. Оператор А называют линейным оператором, если он подчиняется требованиям: а – аддитивности А(х₁+х₂)=А(х₁)+А(х₂) и б – однородности А(кх)=кА(х), где х₁, х₂ из ЛП и к – действительное.

Примером может служить производная. Вторым примером может служить матрица. В самом деле, пусть дан оператор А и вектор х из ЛП. Пусть в ЛП задан базис { e_i }. Тогда воздействуем оператором А на элемент х. Получим новый вектор (элемент ) у=. Т.к. А по условию линеен, тоон установит линейную же связь между координатами векторов х и у. Т.е. получаем соотношения

.

Или фактически у= х. Это значит оператор А и матрица А – одно и то же. Такую матрицу называют матрицей отображения ЛП в себя.

Пример 1.8. Оператор зеркального отражения в оси.

Определим его так: любая Р на плоскости соответствует Р’ в той же плоскости так, что расстояние Р от прямой l равно расстоянию P’ от той же прямой; обе точки лежат на одном перпендикуляре к этой прямой, но по разные стороны от него.

Рис 1. Зеркальное отражение в оси.

Руководствуемся Рис1. Пусть имеем базис е₁ и е₂ . Тогда легко получить соотношение между координатами точек (элементов пространства) Р(х₁,х₂) и P’(у₁,у₂) :

Отсюда следует , что дает у=х. Матрицей (оператором) отражения в оси будет матрица А=. Ее характерный признак – она симметрическая.

Пример Оператор поворота плоскости на угол ф.

Определим его так: любая Р плоскости переходит в Р’ в той же плоскости путем поворота вектора ОР на угол ф до совпадения векторов ОР и ОР’. Руководствуемся Рис 1.2. Пусть имеем базис е₁ и е₂ . Тогда легко получить соотношение между координатами точек (элементов пространства) Р(х₁,х₂) и P’(у₁,у₂) , исходя из таких действий. Пусть ОР=; х == =

Рис 2. Поворот плоскости на угол ф.

Тогда OP’=y===И т.к.=, то получаем окончательную связь между координатами векторов

. Т.е. оператором поворота будет матрица поворота вида - симметрическая, невырожденная с определителем, равным 1.

2.8. Задача о собственных значениях

Ограничимся в рассуждениях ЛП размерности 3, евклидовым, с ортонормированным базисом (е₁ е₂ е₃). Договоримся вектором (элементом ЛП) называть матрицу-столбец = ( х₁ х₂ х₃)^T. Как уже известно, умножение квадратной матрицы А на вектор дает матрицу-столбец – новый вектор из того же ЛП.

Определение. Ненулевой называют собственным вектором оператора А (матрицы А), если выполняется равенство А=к, где к – некоторое действительное, которое называют собственным значением оператора А (матрицы А).

Равенство А=к эквивалентно равенству (А-кЕ) =0, которое после выполнения действий слева фактически будет иметь вид однородной системы линейных уравнений. Однородная система имеет ненулевые (нетривиальные) решения , только если ее определитель равен нулю. (См раздел 1.5). Получаем det(A-kE)=0 или для размерности 3

(1)

Последнее уравнение с неизвестным к называют характеристическим уравнением. Решив уравнение (1.10.1) мы получим собственные значения оператора А (матрицы А). Теперь поступаем так. Берем первое собственное значение и подставляем его в систему (А-кЕ) =0 с неизвестными координатами вектора . Определителем этой системы будет определитель из леовй части уравнения (1.10.1) при заданном к. Решаем эту систему по известному алгоритмы из раздела 1.5. Получаем координаты первого собственного вектора. Далее процесс повторяется для оставшихся собственных значений.

Пример. Найдите собственные значения и собственные векторы оператора (матрицы) А=. Решение. Уравнение имеет вид

=0.

Или к³-6к²+11к-6=0. Его решения (корни): к₁=1; к₂=2; к₃=3. Берем к₁=1 и составляем систему с неизвестными координатами первого собственного вектора ₁. Получаем систему . По алгоритму раздела 1.5 ранг матрицы этой системы не меньше 1 (т.к. есть элементы , не равные нулю) и не больше 3 (т.к. определитель системы это левая часть характеристического уравнения). И потому rancA=2. Легко видеть , что базисным минором может служить минор =8, не равный нулю. Отбрасываем третье уравнение. Положим неизвестное х₃=2 (или любому другому не равному нулю числу) и после решения системы получаем первый собственный вектор ₁=( 1 1 2)^T. Аналогичным образом находим остальные собственные векторы : ₂=( 1 0 1)^T для собственного значения к=2 и ₃=( 1 2 2)^T для собственного значения к=3.

Комментарии. Как видим, сама задача распадается на три отдельные крупные математические задачи. Первая – составление характеристического уравнения. Записать определитель достаточно просто, но вычислять его при большой размерности очень трудно. Вторая – поиск решений (корней) уже полученного уравнения – одна из труднейших задач математики. В данном случае использована теорема о том, что корнями полинома с целыми коэффициентами могут быть делители свободного члена. И третья задача – поиск ненулевого решения однородной линейной системы.

Однако решать задачу нужно, т.к. она является базовой в приложениях при исследовании устойчивости линейных систем (не обязательно математических, но и систем передачи переменных напряжений от источника к потребителю).