15.2. Условная вероятность события. Теорема умножения

В ряде случаев вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью и обозначается .

Пример. В ящике 5 деталей, среди которых 3 стандартные и 2 бракованные. Поочередно из него извлекаются по одной детали. Найти вероятность извлечения во второй раз стандартной детали при условии, что в первый раз извлечена деталь: а) стандартная; б) нестандартная.

Решение. Пусть А – извлечение стандартной детали в первый раз, В – извлечение стандартной детали во второй раз. Очевидно, что Р(А) = . Вероятность извлечения стандартной детали во второй раз Р(В) зависит от того, какая деталь была извлечена в первый раз.

а)

Теорема умножения. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место.

Р(АВ) = Р(А) Р_В(А) (6)

Если же появление одного из событий не меняет вероятности другого, то события называют независимыми.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий..

Р(АВ) = Р(А) Р(В) (7)

Теорема умножения вероятностей распространяется и на число событий больше двух.

15.3. Вероятность появления хотя бы одного события

В случае трех и более совместных событий соответствующая формула для вероятности суммы весьма громоздка и проще перейти к противоположному событию.

Если событие состоит в появлении хотя бы одного из данных событий, то противоположное событиеозначает непоявление всех этих событий, т.е. произведение событий, т.е.

(13)

Тогда на основании (10) :

или (8)

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий.

( 9 )

Если события имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

(10)

Пример Вероятность попадания стрелка в мишень при каждом выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что после двух выстрелов мишень окажется поврежденной.

Решение. Проводится два одинаковых испытания, в каждом из которых событие А (попадание) появляется с вероятностью 0,8. Тогда вероятность попадания хотя бы при одном выстреле

Р = 1-(1-р)² = 1 – 0,04 = 0, 96.

15.4. Формула полной вероятности.Формула Байеса.

Следствием двух основных теорем теории вероятностей - теоремы сложения и теоремы умножения , являются формула полной вероятности и формула Байеса.

Теорема. Если событие А может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) В₁, В₂,…, В_п, образующих полную группу, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий (гипотез) на соответствующие условные вероятности события А:

( 11 )

По условию гипотезы В₁, В₂,…, В_п образуют полную группу, следовательно, они единственно возможные и несовместные. Тогда

А = В₁А+В₂А+…+В_пА

По теореме сложения вероятностей

Р(А) = Р(В₁А) + Р(В₂А) + … + Р(В_пА)

По теореме умножения вероятностей для совместных событий

, откуда и получается утверждение (11) – формула полной вероятности.

Формула Байеса применяется, когда событие А, которое может появиться только с одной из гипотез В₁, В₂,…, В_п , образующих полную группу , произошло, и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез Р(В₁), Р(В₂),…, Р(В_п), известных до испытания, т.е. надо найти апостериорные (получаемые после проведения испытания) условные вероятности гипотез Р_А(В₁), Р_А(В₂),…, Р_А(В_п).

Для получения искомой формулы запишем теорему умножения вероятностей

откуда

или с учетом (11):

(12)

Формула (12) называется формулой Байеса.

Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события А, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход, называемый байесовским, дает возможность корректировать управленческие решения в экономике, оценки неизвестных параметров распределения изучаемых признаков в статистическом анализе и т.п.

Пример. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий в процентном составе: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия. Известно, что 10% продукции первого предприятия высшего сорта, второго предприятия - 5%, третьего предприятия - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная нами продукция окажется высшего сорта.

Р е ш е н и е. Обозначим события: А – была куплена продукция высшего сорта. В₁, В₂, В₃ – покупка продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятию. Очевидно, что событие А может произойти только совместно с одним из событий В₁, В₂ или В₃ , т.к. они образуют полную группу, т.е.

А = В₁А+В₂А+В₃А

По формуле полной вероятности

Р(А) = 0,2· 0,1 + 0,3· 0,05 + 0,5· 0,2 = 0,135