2.5. Понятие обратной матрицы

Понятие обратной матрицы распространяется только на квадратные матрицы, поэтому здесь и далее мы будем иметь дело с матрицей порядка.

Определение 1. Матрица порядка называется вырожденной, если ее ранг.

Определение 2. Матрица называется обратной по отношению к матрице, если их произведение равно единичной матрице:

Для вырожденной матрицы не существует обратной матрицы. Другими словами, если для некоторой матрицы порядка ее ранг, то для нее не существует обратной матрицы.

2.6.Определители и их свойства.

Определителем квадратной матрицы А называют число, символически обозначаемое в компактном виде det(A) или (А). В развернутом виде определитель

записывают так .

Число n называют порядком определителя.

Если в определителе вычеркнуть строку i и столбец j, то останется определитель порядка n-1. Этот определитель называют минором элемента a_ij и обозначают М_ij .

Если минор М_ij умножить на (1)^i+j , то полученный результат называют алгебраическим дополнением элемента a_ij. и обозначают Аij.

Для вычисления определителя используют формулу (рекуррентную) (А)=

Пример 1. 1. Вычислить определители

Решение. Для первого определителя имеем или

. Заметим, что мы воспользовались двумя различными схемами, так как схема в определении не оговаривается. Результат, естественно, одинаков.

При вычислении определителя во втором случае мы используем обнаруженный факт. И потому увидим , что для вычисления удобно использовать третий столбец элементов. Причина в том. что при этом сумма из определения на первом шаге будет содержать только одно слагаемое. В самом деле

==

=. Из этих примеров вытекает начальный простой алгоритм вычисления определителя:

1-й шаг - просмотри ряды определителя и выбери тот, в котором много нулей;

2-й шаг - используя определение, запиши сумму для вычисления (раскрой определитель по элементам выбранного ряда); получишь n определителей порядка n-1 в каждом слагаемом;

3-й шаг - для каждого из полученных определителей выполни п.п. 1 , 2, 3.

Для дальнейшего упрощения вычислений рассмотрим несколько свойств определителя.

С1. При замене строк определителя соответствующими столбцами (транспонировании) определитель не меняется.

Для доказательства достаточно представить факт транспонирования и затем раскрыть определитель по выбранному ранее ряду.

С2. Все свойства определителя, справедливые для строк, справедливы и для столбцов.

С3. При перестановке двух параллельных рядов местами определитель сменит знак.

Для доказательства, не нарушая общности, проделаем указанное с определителем 2-го порядка. Легко видеть это свойство справедливо. Для произвольного определителя достаточно подсчитать количество смен знаков при перестановке соседних рядов.

С4. Определитель с нулевым рядом равен нулю.

Для доказательства достаточно раскрыть определитель по нулевому ряду , используя определение.

С5. Определитель, у которого два параллельных ряда равны, равен нулю.

Для доказательства переставим местами равные ряды. Тогда по С3 определитель сменит знак. Но он при этом не изменится. Такое возможно только если он равен нулю.

С6. В определителе, у которого элементы ряда имеют общий множитель, этот множитель можно вынести за знак определителя.

Если раскрыть определитель по указанному ряду, то этот множитель можно будет вынести за знак суммы. Затем оставшуюся сумму легко развернуть в определитель , в котором общий множитель будет вынесен за знак определителя.

Пример 1.2.

=2*==-4*=-8*11=-88.

Отметим, что после первого знака равенства был вынесен множитель только из 1-й строки. Из второго столбца вынести ничего при этом нельзя, т.к. а₁₂ уже стал равным 1. Далее по определению был раскрыт определитель по 1-й строке. После чего в полученном определителе 2-го порядка можно вынести множитель 2 из 2-го столбца. При этом знак слагаемого установлен устно во всех случаях.

С7. Определитель, у которого элементы двух параллельных рядов соответственно пропорциональны, равен нулю.

Достаточно из одного из пропорциональных рядов вынести общий множитель и в оставшемся определителе окажется два равных ряда. Далее смотри С5.

С8. Если все элементы некоторого ряда представить как сумму двух слагаемых, то определитель будет равен сумме двух определителей, у которых вместо ряда-суммы будут стоять ряды слагаемых из сумм. Остальные ряды будут одинаковы.

Для доказательства достаточно раскрыть определитель по ряду, состоящему из суммы двух слагаемых. Затем полученную по определению сумму представить как сумму двух слагаемых, каждое из которых есть соответствующий определитель.

С9. Если к некоторому ряду поэлементно прибавить параллельный ряд, умноженный на некоторое число, то определитель не изменится.

Доказательство следует из С8 и С7.

С10. Сумма произведений элементов ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.

При составлении алгебраических дополнений элементов параллельного ряда сами элементы в работе не участвуют. Значит вместо них можно взять что угодно, даже и нули(или элементы ряда, по которому производят раскрытие определителя). В любом случае (по С4 или С5) определитель станет равным нулю.

С11. Можно рекомендовать вычислять определитель 2-го порядка по правилу - произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Указанные свойства удобно использовать при вычислении, анализируя состав элементов. Более практичным является прием “изготовления” нулей, используя указанные свойства. В последнем случае придерживаются алгоритма:

- проанализируйте элементы на наличие числа (1 или -1 или другого небольшого числа);

- пусть имеется 1 в строке k и столбце s;

- составляем новый определитель, у которого строка k взята из исходного определителя;

- последовательно умножаем все элементы строки k на некоторые множители и поэлементно складываем с параллельными строками так, чтобы в столбце s во всех строках (кроме строки k) образовались нули;

- раскрываем определитель по элементам столбца s (т.к. в нем только один элемент a_ks отличен от нуля).

Строка k в процессе работы не изменяется, как всякий инструмент, на острие которого расположен рабочий элемент a_ks.

Пример 1.3. Вычислите определитель

Поясним выполненное. Первая строка умножена на -1 и сложена поэлементно с остальными. Теперь раскрываем определитель по 1-му столбцу. После чего из 2-го строки можно вынести множитель (y-x) , из 3-ей строки (z-x) и из 4-й вынести (t-x). Получаем в результате

(y-x) (z-x)(t-x)

Если теперь 2-ю строку умножить на -1 и сложить поэлементно с остальными то получим

= (y-x)(z-x)(t-x)

Если теперь раскрыть определитель по 2-му столбцу, а затем вынести из 2-й строки множитель (z-y) и из 3-й строки множитель (t-y) , то получим

(y-x) (z-x)(t-x)(z-y)(t-y) =(y-x)(z-x)(t-x)(z-y)(t-y)(t-z).

Другими приемами вычисление результата в таком простом виде практически нереализуемо. А применяется этот определитель Ван-дер-Монда очень широко.

Отметим, что для вычисления определителей 3-го порядка используют частное правило “треугольников”, неприменимое в общем случае.

Определение. Квадратную матрицу, определитель которой не равен нулю, называют невырожденной.

В противном случае матрицу называют вырожденной.