- •Лекционный курс
- •Раздел 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии
- •Тема 1. Элементы векторной алгебры и ее приложения.
- •1.1. Линейные операции над векторами
- •1.2. Скалярное произведение векторов
- •1.3. Векторное произведение векторов
- •1.4. Типовые задачи, решаемые средствами векторной алгебры
- •1.5. Линейное, евклидово и нормированное пространства.
- •Тема 2. Матрицы и определители
- •2.1. Понятие матрицы и действия с ними.
- •2.2. Транспонирование матриц
- •2.3. Произведение матриц.
- •2.4. Ранг матрицы
- •2.5. Понятие обратной матрицы
- •2.6.Определители и их свойства.
- •2.7. Линейные операторы и матрицы
- •2.8. Задача о собственных значениях
- •2.9. Свойства симметрических матриц
- •2.10. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду
- •Тема 3. Системы линейных уравнений
- •3.1.Формулы Крамера
- •3.2. Метод Гаусса.
- •3.3.Матричный метод решения линейной системы.
- •3.4. Понятие о приближенных методах решения линейных систем
- •Тема 4. Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве.
- •4.1. Уравнения линий и поверхностей
- •4.2. Уравнение 1-й степени на плоскости
- •4.3. Уравнения первой степени в пространстве
- •4.4. Уравнения первой степени в пространстве
- •4.5. Типовые задачи на плоскость в пространстве.
- •4.6. Уравнения 2-й степени на плоскости.
- •4.7. Уравнения 2-й степени в пространстве
- •4.8. Цилиндры и поверхности вращения
- •Раздел 2. Математический анализ и дифференциальные уравнения.
- •Тема 5.Функции и их свойства
- •5.1. Функция, способы ее задания, свойства, график функции, преобразование графика сдвигом и деформацией.
- •Тема 6. Пределы и непрерывность.
- •6.1. Понятие предела
- •6.2. Замечательные пределы.
- •6.3. Алгоритм вычисления пределов.
- •6.4. Примеры эквивалентных бмв.
- •Тема 7. Производная и дифференциал функции.
- •7.1. Понятие производной
- •7.2. Дифференциальное исчисление функции одного переменного.
- •7.3. Из определения вытекает алгоритм вычисления производной.
- •7.4.Таблица и основные правила.
- •7.5. Производная и дифференциал.
- •7.6. Производная и дифференциал высшего порядка.
- •Тема 8. Приложения производной
- •8.2.Приложение производной к исследованию функций.
- •Тема 9. Неопределенный интеграл.
- •9.1.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства
- •9.3.Методы интегрирования.
- •9.4.Рациональные дроби.
- •9.4.Рациональные тригонометрические функции.
- •9.5.Простейшие иррациональные выражения.
- •Тема 10. Определенный интеграл.
- •Методы нахождения определенного интеграла
- •10. 2.Несобственные интегралы.
- •Тема 11. Дифференциальные уравнения.
- •11.1 Определение дифференциального уравнения
- •11.2. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка. Методы Их Решения.
- •Тема 12 Функции нескольких переменных
- •12.1.Основные понятия
- •12.2.Непрерывность функций нескольких переменных
- •12.3.Частные производные и дифференциалы
- •12.4. Производная по направлению и градиент
- •12.5. Производная сложной функции нескольких переменных
- •12.6. Производные и дифференциалы высших порядков
- •12.7. Производные неявных функций
- •12.8.Экстремумы функций нескольких переменных
- •Раздел 3. Ряды.
- •Тема 13. Числовые и степенные ряды.
- •Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика
- •Тема 14. Основные понятия теории вероятностей.
- •1. Понятие события.
- •2. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
- •3. Статистическое определение вероятности.
- •4. Элементы комбинаторики
- •Тема 15. Основные теоремы теории вероятностей и следствия из них.
- •15.1.Теорема сложения.
- •15.2. Условная вероятность события. Теорема умножения
- •15.3. Вероятность появления хотя бы одного события
- •15.4. Формула полной вероятности.Формула Байеса.
- •15.5. Повторные независимые испытания
- •15.6. Локальная теорема Муавра- Лапласа
- •15.7. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •Тема 16. Случайные величины и способы их описания
- •16.1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные
- •16.2. Функция распределения случайной величины. График функции
- •16.4. Равномерный закон распределения.
- •16.6. Правило «трех сигм».
- •16.7. Показательное распределение.
- •16.8. Функция надежности.
- •16.9. Показательный закон надежности.
- •16.10. Математическое ожидание.
- •16.11. Дисперсия.
- •16.12. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •16.13. Числовые характеристики случайных величин, имеющих некоторые стандартные законы распределения.
- •1. Биномиальное распределение.
- •2. Закон Пуассона.
- •3. Равномерное распределение.
- •4. Нормальное распределение.
- •16.14. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли.
- •Корреляционный анализ.
- •Глоссарий
- •Темы контрольных работ.
- •Основная литература
- •Дополнительная литература
1.4. Типовые задачи, решаемые средствами векторной алгебры
Деление отрезка в данном отношении k.
Определение. Пусть дан отрезок АВ и точка М на нем или его продолжении. Говорят, сто М делит АВ в отношении к, если k=АМ/MB. При этом знак + берут, если векторы исонаправлены и знак - , если противоположно направлены.
Решение задачи. Из определения следует соотношение =к. Но точно таким же соотношением связаны соответствующие координаты указанных векторов. Получаемиз которой следуют формулы для вычисления координат делящей точки хМ =и т.д.
Получение единичного вектора данного направления . Дан вектор(ах, ау, az) – своими координатами. Найти вектор единичной длины и того же направления.
Решение. Интересующий нас вектор равен
=(ax+ay+az)=Cos+Cos +Cos.
Угол между векторами Cos ф=.
Проверка параллельности и перпендикулярности векторов.
Вычисление площадей многоугольников, разбиением их на треугольники и используя равенство из геометрической интерпретации векторного произведения. Имеем =0,5 .
Расстояние от точки Мо(хо;уо) до прямой с вектором .
d=.Используя рисунок, видно, что числитель – это площадь,
а знаменатель – это основание параллелограмма со сторонами и.
1.5. Линейное, евклидово и нормированное пространства.
Определение. Множество М элементов x,y,z…любой природы называют линейным (аффинным, векторным) пространством, если выполнены требования:
1-е. Имеется правило, по которому любым двум элементам х и у из М ставится в соответствие третий элемент z из М, называемый суммой и обозначаемый x+y=z.
2-е. Имеется правило по которому любому элементу х из М и действительному числу к ставится в соответствие элемент у из М, называемый произведением числа на элемент и обозначаемый кx=y.
3-е. Указанные правила подчиняются законам (аксиомам):
1* :
2* ;
3* существует элемент, называемый нуль элементом и обозначаемый 0, такой, что ;
4* для каждого х существует элемент , называемый противоположный и обозначаемый , такой что;
5* ;
6* – сочетательный закон для умножения;
7* – распределительный закон умножения относительно сложения;
8* - распределительный закон сложения относительно умножения.
Если же природа элементов указана так же как и конкретный вид операций, то множество называют конкретным линейным пространством.
Примеры. Множество всех векторов на прямой (на плоскости, в пространстве) , если сложение определено по правилу треугольника (параллелограмма), а умножение на число как деформация, будет линейным векторным пространством с обозначением V1(V2, V3).
Множество полиномов степени не выше 2 , если правила суммирования и умножения на число определены как обычно, линейное векторное пространство.
Множество функций, непрерывных на отрезке, множество решений однородной системы и т.д.
В то же время полиномов степени 2 , если правила суммирования и умножения на число определены как обычно, не будет линейным векторным пространством, т.к. возможно потеря старшей степени при суммировании таких полиномов (после приведения подобных).
Элементы линейных пространств принято называть векторами. А т.к. умножение производят на действительное число, то еще и действительными.
Определение. Выражение принято называть линейной комбинацией элементов (векторов) ЛП.
Определение. Элементы (векторы) {xi} называют линейно независимыми , если их обращается в нуль тогда и только тогда, когда все ai =0.
Определение. Множество {xi} ненулевых линейно независимых векторов (элементов) называют базисом ЛП, если для любого х не из этого множества существуют такие { ai } не все равные нулю, что будет справедливо равенство х=.
Последнее равенство называют разложением элемента х в базисе(по базису).
Определение. ЛП называют n-мерным, если в нем существуют n линейно независимых вектора, а n+1 вектор уже будут линейно зависимыми. N называют размерность ЛП и записывают это так dimM=n.
Т.к. иных операций в ЛП не введено, то
Определение. Два ЛП называют изоморфными, если между их элементами установлено взаимно-однозначное соответствие ткк, что, если х и у принадлежат ЛП M и им соответствуют x’ , y’ из ЛП M’, то х+у соответствует x’+y’, а кх соответствует кx’ из М’.
Из последнего следует, что единственной характеристикой ЛП является его размерность. Пишут так Mn.
Определение. Подмножество L из ЛП М, в котором справедливы указанные в определении ЛП операции называют линейным подпространством из Mn.
Определение. Действительное ЛП называют евклидовым, если выполнены требования :
имеется правило, по которому любым х и у из ЛП ставится в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением и обозначаемое (х,у);
указанное правило подчиняется аксиомам : а - (х,у)=(у,х); б – (х1+х2)у=х1у+х2у ; с – (кх,у)=к(х,у) для любого к ; d – (х,х)>0 , если х не нулевой и (х,х)=0, если х - нулевой.
Примерами евклидова пространства будут уже упоминаемые ранее V1,V2, V3.
Примером ЕП будет множество упорядоченных совокупностей Аn, если операцию скалярное произведение определить по формуле (х,у)= .
Свойства. Для любых х и у из ЕП справедливо равенство (Коши-Буняковсого) (х,у)2 (х,х)(у,у).
Доказательство. Согласно аксиомы d имеем (кх-у,кх-у)=к2(х,х)-2к(х,у)+(у,у) 0. Для того , чтобы квадратный трехчлен был неотрицателен при любых значениях переменной к требуется , чтобы дискриминант был неположителен . Получаем (х,у)2-(х,х)(у,у) 0. Откуда и следует требуемое.
Определение. ЛП называют нормированным, если выполнены требования:
имеется правило, по которому любому х из ЛП ставится в соответствие действительное число, называемое нормой элемента и обозначаемое (длиной);
это правило подчиняется аксиомам : а - >0 , если х не нуль и =0, если х – нуль-элемент; б - = для любого действительного к; с – для любых х и у верно + - неравенство треугольника.
ЕП будет нормированным, если норму определить так =(корень квадратный из скалярного квадрата).
Определение. n – элементов ei0 образуют ортонормированный базис в ЛП, если:
а – (ei , ei)= . Получение =1 называют нормированием.
Свойство. Если ЛП ортонормированно с базисом { ei }, то (х,у)= .
Доказательство. Пусть х и у произвольные из ЕП и { ei } произвольный ортонормированный в нем. Тогда х= и у=. Но тогда (х,у)= (,)=, ввиду ортогональности ei.
Теперь легко выяснить смысл понятия ‘координата’ в ортонормированном базисе. Возьмем произвольный х= и произвольный ei из базиса. Вычислим (х, ei) =(, ei)=xi . Т.е. координата – это произведение вектора х на базисный орт.
Контрольные вопросы и задания для самостоятельной подготовки:
Векторы и их свойства.
Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.
Линейная зависимость векторов.
Размерность и базис векторного пространства.
Переход к новому базису.
Евклидово пространство.
Линейные операторы.
Линейное пространство.
Декартово пространство.
Даны три вектора: Найти координаты вектора.
10. Найти линейную комбинацию векторов если
11. Найти линейную комбинацию векторов , если
12. Найти линейную комбинацию векторов и угол между векторами:
, если
13. Найти линейную комбинацию векторов и угол между векторами:
, если
Найти линейную комбинацию векторов и угол между векторами:
, если
Найти линейную комбинацию векторов и угол между векторами:
, если