9.4.Рациональные тригонометрические функции.

Рациональным тригонометрическим выражением называют выражение типа R(Sinx, Cosx). Рассмотрим простейшие приемы интегрирования таких выражений.

Наиболее распространена универсальная тригонометрическая подстановка =t. Поэтому Sinx==; Cosx==. После этого R(Sinx, Cosx)= R(,) =. Т.к. из подстановки следует, что иdx=, то мы привели интеграл от тригонометрического выражения к интегралу от рац. дроби. Дальнейшие действия см.выше.

Если под интегралом записаны произведения вида SinaxCosbx ; SinaxSinbx; CosaxCosbx , тогда произведение разворачиваем в сумму и получаем табличные интегралы.

Если под интегралом записаны выражения вида Sin^kxCos^lx , то поступают так:

если k и l четные числа, то используют формулы понижения степени Sin²x=0,5(1+Cos2x); Cos²x=0,5(1-Cos2x). Затем обрабатывают полученное;

если k четное, а l нечетное (или наоборот), то “отсчепляют” от нечетной степени основание и подводят его под знак дифференциала, а все четные степени выражают через функцию, записанную под знаком дифференциала;

если k+l – четное отрицательное целое, то применяют подстановку tgx=t и получают табличные интегралы.

Пример 7.6. Найдите интеграл dx. Здесь -=-4 и потому tgx=t . получаем dx=dx=dx===

=dt+dt=+2+C==+2+C.

9.5.Простейшие иррациональные выражения.

Рациональным тригонометрическим выражением называют выражение типа R(Sinx, Cosx). Рассмотрим простейшие приемы интегрирования таких выражений.

Наиболее распространена универсальная тригонометрическая подстановка =t. Поэтому Sinx==; Cosx==. После этого R(Sinx, Cosx)= R(,) =. Т.к. из подстановки следует, что иdx=, то мы привели интеграл от тригонометрического выражения к интегралу от рац. дроби. Дальнейшие действия см.выше.

Если под интегралом записаны произведения вида SinaxCosbx ; SinaxSinbx; CosaxCosbx , тогда произведение разворачиваем в сумму и получаем табличные интегралы.

Если под интегралом записаны выражения вида Sin^kxCos^lx , то поступают так:

если k и l четные числа, то используют формулы понижения степени Sin²x=0,5(1+Cos2x); Cos²x=0,5(1-Cos2x). Затем обрабатывают полученное;

если k четное, а l нечетное (или наоборот), то “отсчепляют” от нечетной степени основание и подводят его под знак дифференциала, а все четные степени выражают через функцию, записанную под знаком дифференциала;

если k+l – четное отрицательное целое, то применяют подстановку tgx=t и получают табличные интегралы.

Пример. Найдите интеграл dx. Здесь -=-4 и потому tgx=t . получаем dx=dx=dx===

=dt+dt=+2+C==+2+C.

Контрольные вопросы и задания для самостоятельной подготовки:

1. Понятие о неопределенном интеграле.

2. Основные свойства неопределенного интеграла.

3. Основные формулы интегрирования.

4. Методы интегрирования. Метод разложения.

5. Методы интегрирования. Метод замены переменной.

6. Методы интегрирования. Метод интегрирования по частям.

7. Интегрирование рациональных дробей.

8. Интегрирование иррациональных функций.

9. Интегрирование тригонометрических функций.

10. Найти неопределенный интеграл

11. Найти неопределенный интеграл

12. Найти неопределенные интеграл

13. Найти неопределенный интеграл

14. Найти неопределенный интеграл

15. Найти неопределенный интеграл

16. Найти неопределенный интеграл

17. Найти неопределенный интеграл

18. Найти неопределенный интеграл

19. Найти неопределенный интеграл

20. Найти неопределенный интеграл

21. Найти неопределенный интеграл

22. Найти неопределенный интеграл

23. Найти неопределенный интеграл

24. Найти неопределенный интеграл

25. Найти неопределенный интеграл

26. Найти неопределенный интеграл

27. Найти неопределенный интеграл

28. Найти неопределенный интеграл