12.5. Производная сложной функции нескольких переменных

Пусть задана сложная функция с двумя промежуточными и одним основным аргументом z=f(x;y), x=x(t), y=y(t). Требуется вычислить производную z’_t . отметим. Что это полная производная, т.к. фактически это функция одного переменного. Пусть переменная t получила приращение t. Тогда соответствующие приращения получат и функции х и у, зависяшие от t, а вместе с ними и функция z получит полное приращение z= f’_x(х;y)х+ f’_у(х;y)у. Разделим полученное приращение на t и вычислим предел этого отношения при t0. Тогда получим f’_t = f’_x x’_t+ f’_у y’_t -формула для вычисления производной сложной функции данного типа.

Если же задана сложная функция с двумя промежуточными и двумя основными аргументами z=f(x;y), x=x(t,s), y=y(t,s), тогда можно использовать уже разработанный алгоритм вычисления частных производных и получить формулы f’_t = f’_x x’_t+ f’_у y’_t ; f’_s = f’_x x’_s+ f’_у y’_s или в других символах

=+ и =+ . В последних записях отметим справедливость предупреждения о том, что частные производные – это не дроби, а единые символы. В противном случае полсе сокращения справа было бы получено две частные призводные , равные одной производной слева!

Если от функции нескольких переменных взяты частные производные, то они сами будут функциями от тех же аргументов. Естественно попытаться поставить вопрос о производных от частных производных.

Определение. Частная производная от частной производной порядка n-1 от данной функции называется частной производной порядка n от данной функции.

12.6. Производные и дифференциалы высших порядков

Аналогично определяются частные и полные дифференциалы высшего порядка. Соответствующим образов выглядят символические обозначения частных производных и дифференциалов высшего порядка: или или f’’_xx - все это производные 2-го порядка от функции z=f(x;y;…) по переменной х. Читается это так “частная производная второго порядка от функции f (или z) по переменной х дважды”. Естественно, что частные производные можно брать по всем аргумента.

Справедлива теорема – если f(x;y) имеет всевозможные частные производные до порядка n-1 включительно и имеет непрерывные частные производные порядка n , то значение частной производной порядка n не зависит от последовательности, в которой для ее вычисления проводились дифференцирования по переменным, а определяется только общим числом дифференцирований по каждому аргументу.

К примеру, имеем естественные равенства в условиях данной теоремы :

====…

12.7. Производные неявных функций

Ранее было введено понятие неявной функции одного аргумента в неявном виде, т.е. уравнением F(x;y)=0. Однако там же указывалось, что не всякое уравнение F(x;y)=0 определяет функцию y=f(x).

Теорема (достаточные условия существования неявной функции).

Пусть : F(x;y) определена и непрерывна как функция двух переменных вместе со своими частными производными в некоторой окрестности точки Мо(х_о;у_о);

В точке Мо(х_о;у_о) имеет место равенство F(х_о;у_о)=0,

В точке Мо F’_x(х_о;у_о) не равна нулю; тогда: в некотором прямоугольнике D уравнение F(x;y)=0 определяет однозначную y=f(x);

При х= х_о функция y=f(x) принимает значение у_о ;

На промежутке функция y=f(x) непрерывна и имеет производную, которую вычисляют по формуле y`=.

Комментарий. Следует заметить, что фактической функции y=f(x) можно и не получить вообще, т.к. не всякое уравнение F(x;y)=0 можно решить относительно у. И все же производную вычислить можно.