- •Лекционный курс
- •Раздел 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии
- •Тема 1. Элементы векторной алгебры и ее приложения.
- •1.1. Линейные операции над векторами
- •1.2. Скалярное произведение векторов
- •1.3. Векторное произведение векторов
- •1.4. Типовые задачи, решаемые средствами векторной алгебры
- •1.5. Линейное, евклидово и нормированное пространства.
- •Тема 2. Матрицы и определители
- •2.1. Понятие матрицы и действия с ними.
- •2.2. Транспонирование матриц
- •2.3. Произведение матриц.
- •2.4. Ранг матрицы
- •2.5. Понятие обратной матрицы
- •2.6.Определители и их свойства.
- •2.7. Линейные операторы и матрицы
- •2.8. Задача о собственных значениях
- •2.9. Свойства симметрических матриц
- •2.10. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду
- •Тема 3. Системы линейных уравнений
- •3.1.Формулы Крамера
- •3.2. Метод Гаусса.
- •3.3.Матричный метод решения линейной системы.
- •3.4. Понятие о приближенных методах решения линейных систем
- •Тема 4. Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве.
- •4.1. Уравнения линий и поверхностей
- •4.2. Уравнение 1-й степени на плоскости
- •4.3. Уравнения первой степени в пространстве
- •4.4. Уравнения первой степени в пространстве
- •4.5. Типовые задачи на плоскость в пространстве.
- •4.6. Уравнения 2-й степени на плоскости.
- •4.7. Уравнения 2-й степени в пространстве
- •4.8. Цилиндры и поверхности вращения
- •Раздел 2. Математический анализ и дифференциальные уравнения.
- •Тема 5.Функции и их свойства
- •5.1. Функция, способы ее задания, свойства, график функции, преобразование графика сдвигом и деформацией.
- •Тема 6. Пределы и непрерывность.
- •6.1. Понятие предела
- •6.2. Замечательные пределы.
- •6.3. Алгоритм вычисления пределов.
- •6.4. Примеры эквивалентных бмв.
- •Тема 7. Производная и дифференциал функции.
- •7.1. Понятие производной
- •7.2. Дифференциальное исчисление функции одного переменного.
- •7.3. Из определения вытекает алгоритм вычисления производной.
- •7.4.Таблица и основные правила.
- •7.5. Производная и дифференциал.
- •7.6. Производная и дифференциал высшего порядка.
- •Тема 8. Приложения производной
- •8.2.Приложение производной к исследованию функций.
- •Тема 9. Неопределенный интеграл.
- •9.1.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства
- •9.3.Методы интегрирования.
- •9.4.Рациональные дроби.
- •9.4.Рациональные тригонометрические функции.
- •9.5.Простейшие иррациональные выражения.
- •Тема 10. Определенный интеграл.
- •Методы нахождения определенного интеграла
- •10. 2.Несобственные интегралы.
- •Тема 11. Дифференциальные уравнения.
- •11.1 Определение дифференциального уравнения
- •11.2. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка. Методы Их Решения.
- •Тема 12 Функции нескольких переменных
- •12.1.Основные понятия
- •12.2.Непрерывность функций нескольких переменных
- •12.3.Частные производные и дифференциалы
- •12.4. Производная по направлению и градиент
- •12.5. Производная сложной функции нескольких переменных
- •12.6. Производные и дифференциалы высших порядков
- •12.7. Производные неявных функций
- •12.8.Экстремумы функций нескольких переменных
- •Раздел 3. Ряды.
- •Тема 13. Числовые и степенные ряды.
- •Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика
- •Тема 14. Основные понятия теории вероятностей.
- •1. Понятие события.
- •2. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
- •3. Статистическое определение вероятности.
- •4. Элементы комбинаторики
- •Тема 15. Основные теоремы теории вероятностей и следствия из них.
- •15.1.Теорема сложения.
- •15.2. Условная вероятность события. Теорема умножения
- •15.3. Вероятность появления хотя бы одного события
- •15.4. Формула полной вероятности.Формула Байеса.
- •15.5. Повторные независимые испытания
- •15.6. Локальная теорема Муавра- Лапласа
- •15.7. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •Тема 16. Случайные величины и способы их описания
- •16.1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные
- •16.2. Функция распределения случайной величины. График функции
- •16.4. Равномерный закон распределения.
- •16.6. Правило «трех сигм».
- •16.7. Показательное распределение.
- •16.8. Функция надежности.
- •16.9. Показательный закон надежности.
- •16.10. Математическое ожидание.
- •16.11. Дисперсия.
- •16.12. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •16.13. Числовые характеристики случайных величин, имеющих некоторые стандартные законы распределения.
- •1. Биномиальное распределение.
- •2. Закон Пуассона.
- •3. Равномерное распределение.
- •4. Нормальное распределение.
- •16.14. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли.
- •Корреляционный анализ.
- •Глоссарий
- •Темы контрольных работ.
- •Основная литература
- •Дополнительная литература
2. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Очевидно, события - «выпадение дождя» и «выпадение снега» в первый день лета в данной местности, «выигрыш по одному билету» и «выигрыш по каждому из 5 приобретенных билетов» денежно-вещевой лотереи обладают разной степенью возможности их наступления. Поэтому для сравнения событий нужна определенная мера.
Для количественной оценки степени возможности появления случайного события пользуются термином вероятность.
Поставим задачу дать количественную оценку возможности того, что при бросании игральной кости выпадет 4 очка. Выпадение четырех очков будем рассматривать в качестве события А. Каждый из возможных результатов испытания ( испытание – бросание игральной кости) назовем элементарным исходом ( элементарным событием).В нашем примере возможны следующие 6 элементарных исходов: выпало 1 очко, 2 очка, 3 очка, 4 очка, 5 очков, 6 очков. Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию. В нашем примере из шести элементарных исходов событию А благоприятствует один. Следовательно, вероятность того, что выпавшее количество очков окажется равным 4, равна 1/ 6. Это число и дает ту количественную оценку степени возможности появления четырех очков, которую мы и хотели найти.
Согласно классическому определению, вероятность события А равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу равновозможных элементарных исходов.
Р(А) = (1)
Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
С в о й с т в о 1.Вероятность достоверного события равна единице.
Р(А) = т/п = п/п = 1.
С в о й с т в о 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Р(А) = т/п = 0/п = 0.
С в о й с т в о 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
0 Р(А) 1.
Пример 1. На территории предприятия произошла авария водопровода. Общая длина водопровода 150 м. В том числе 50 м. трубы приходится на труднодоступные места. Какова вероятность того, что ремонт придется производить именно на труднодоступном участке?
Р(А) = 50/150 = 1/3
Пример 2. В урне лежат т белых шаров и п черных. Чему равна вероятность вытащить белый шар ( событие А ) ?
3. Статистическое определение вероятности.
Пользуясь классическим определением вероятности, можно вычислить вероятность какого-либо случайного события, не прибегая к опыту. Однако это не всегда выполнимо, ибо на практике не всегда можно соблюдать условие равновозможности, лежащее в основе классического определения.
Например, если монета сплющена, то события «появление герба» и «появление цифры» нельзя считать равновозможными и формула (1) окажется неприменимой для подсчета вероятности любого из них. По этой причине наравне с классическим определением пользуются статистическим определением вероятности.
При изучении массовых явлений какое-либо случайное событие или случайная величина могут появляться несколько раз в процессе испытаний. Пусть, например, при п испытаниях событие А появилось т раз. Число т носит название частоты появления события А. Отношение частоты события А к общему числу испытаний п носит название частоты события или относительной частоты, которую обозначают
Если случайное событие имеет устойчивую частоту в серии испытаний, т.е. в каждой серии испытаний частота этого события изменяется незначительно и колеблется около некоторого положительного числа, то это число и принимается за вероятность данного события. Вычисленную таким образом вероятность называют статистической вероятностью.
(2)
Пример 1. Подбросим монету 10 раз и получим, например, такие результаты:
Г, Г, Ц, Г, Ц, |
Г, Ц, Г, Ц, 10) Ц, |
|
|
С увеличением числа испытаний колебания частоты уменьшаются и частота становится практически устойчивой . Такую устойчивую частоту и принимают равной вероятности интересующего нас события.
В примере с подбрасыванием монеты число опытов взято произвольно. На самом деле для получения достоверного значения вероятности число опытов должно быть значительно больше.