Раздел 3. Ряды.

Тема 13. Числовые и степенные ряды.

Основные понятия. Сходимость ряда. Необходимый признак ряда. Гармонический ряд. Ряды с положительными членами. Ряды с членами произвольного знака. Область сходимости степенного ряда. Ряд Маклорена. Применение рядов в приближенном вычислении.

Числовой ряд и его сумма.

Пусть задана бесконечная числовая последовательность или в развернутом виде

Выражение или( 1 )

называется числовым рядом .

члены ряда; - ный или общий член ряда. Суммычастичные суммы ряда (1).

Ряд называется сходящимся , если последовательность его частичных сумм сходится, т.е. существует конечный предел

Этот предел называется суммой ряда.

Если ряд сходится и S- его сумма, пишут

S=.

Ряд называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм расходится.

Пример. 1+гармонический ряд.

Необходимый признак сходимости ряда. Свойства сходящихся рядов.

Теорема. Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю, т.е.

.

Доказательство.

Пусть ряд сходится и его сумма равнаS. Очевидно, что a_n=S_n-S_n-1 Поэтому

Условие (*) является необходимым, но не является достаточным для сходимости ряда. Например, гармонический ряд удовлетворяет этому условию, но расходится.

Если общий член ряда имеет предел, отличный от нуля, то ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

следовательно, данный ряд расходится по теореме (*).

Определение. Суммой двух рядов иназывается ряд вида

Свойства сходящихся рядов.

С 1. Сумма двух сходящихся рядов есть сходящийся ряд. Его сумма равна сумме сумм этих рядов.

С 2. Если все члены сходящегося ряда, сумма которого равна S, умножить на некоторое число , то получится новый сходящийся ряд, сумма которого равна

С 3. Сумма и разность сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

С 4. Если в сходящемся ряде

1) заменить конечное число членов новыми членами;

2) отбросить или приписать конечное число членов;

3) совершить перестановку любого конечного числа членов,

то получится новый сходящийся ряд.

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.

Ниже рассматриваем только знакоположительные ряды, т.к. знакоотрицательные ряды нет необходимости рассматривать в силу С 2.

Пусть ряд будет положительным, т.е.

Сходимость или расходимость положительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом, заведомо сходящимся или расходящимся.

Теоремы сравнения рядов.

Теорема 1. Пусть даны два положительных ряда и, причем для всех достаточно больших. Тогда :

- из сходимости ряда (2) вытекает сходимость ряда (1);

- из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Сравнение исследуемых рядов производится обычно с табличными рядами: - геометрическая прогрессия, сходящаяся прии расходящаяся при

- расходящийся гармонический ряд;

- обобщенный гармонический ряд, сходящийся при и расходящийся при.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Сравним данный ряд с рядом , представляющим собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Члены данного ряда меньше соответствующих членов ряда, следовательно данный ряд сходится.

Теорема 2. Исследуется на сходимость ряд (1), известно поведение ряда (2).

Если существует конечный отличный от нуля предел , то оба ряда либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. Если же= 0, то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Сравним данный ряд с гармоническим .

=, следовательно рядрасходится.

Теорема 3. Признак Даламбера.

Пусть для числового ряда с положительными членами

существует Тогда

1) если l < 1 - ряд сходится;

2) если l > 1 - ряд расходится;

3) если l= 1 - ряд может сходиться или расходиться ( в этом случае признак на вопрос о сходимости ряда ответа не дает).

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд 1+

Решение.

= - ряд сходится.

Теорема 4. Признак Коши.

Если существует , то

1) если l< 1 - ряд сходится;

2) если l > 1 - ряд расходится;

3) если l = 1 - определить сходимость невозможно.

Пример 4 Исследовать на сходимость ряд.

Решение.

ряд сходится.

Пример 5 Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

- ряд расходится.

Степенные ряды

Понятие функционального ряда. Область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.

Функциональным рядом называется ряд

каждое слагаемое которого является функцией от х , определенной на одном и том же множестве А. При фиксированном хА получим различные числовые ряды, которые могут оказаться как сходящимися , так и расходящимися.

Совокупность тех значений хА , при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости ряда (1).

Ясно, что в области сходимости сумма функционального ряда является некоторой функцией от х . Обозначим ее S(x).

Функциональные ряды вида

где заданные действительные числа , называются степенными.

Пример. степенной ряд. При каждом значении х ряд является числовым. Например, прих = 2 получается числовой ряд . У степенного ряда счет членов ведется не с единицы, а с нуля.

Любой степенной ряд вида (2) сходится в точке . Поэтому область сходимости степенного ряда всегда содержит по крайней мере одну точку.

Сходимость ряда (2) регламентируется теоремой, носящей имя норвежского математика Н. Абеля.

Теорема Абеля. Если степенной ряд

а) сходится при х=х₀ , то он абсолютно сходится и при х, таких, что ;

б) расходится при , то он расходится и прих таких, что

Сближая и, имеем случай, показанный на рис. 2, т.е. существует такое числоR0 , что при ряд сходится, а прирасходится.

Это число называется радиусом сходимости.

R=0 , R и R=R - три возможности для каждого степенного ряда.

Определение радиуса сходимости степенного ряда

С помощью признака Даламбера.

Если ряд расходится

Если ряд расходится.

Пример. Найти интервал сходимости степенного ряда

Решение.

Ряд сходится, если т.е.. Интервал сходимости (-2;2).

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При х= -2 имеем ряд сходится по признаку Лейбница. Прих=2 - расходящийся гармонический ряд.

Следовательно, областью сходимости служит полуинтервал .

Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.

Если в знакочередующемся ряде члены ряда таковы, чтои, то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Контрольные вопросы и задания для самостоятельной подготовки:

1. Понятие о рядах.

2. Необходимый признак сходимости ряда.

3. Сравнение рядов.

4. Признак Даламбера.

5. Признак сходимости знакочередующихся рядов.

6. Абсолютно сходящиеся ряды.

7. Функциональные ряды.

8. Понятие степенного ряда.

9. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.

10. Свойства степенных рядов.

11. Ряды Тейлора и Маклорена. Формула Тейлора.

12. Разложение функций в степенной ряд.

13. Непосредственное разложение функций в ряд Маклорена. Применение готовых разложений.

14. Правило умножения рядов. Применение почленного интегрирования.

15. Найти сумму ряда

16. Найти сумму ряда

17. Найти сумму ряда

18. Исследовать сходимость ряда

19. Исследовать сходимость ряда

20. Исследовать сходимость ряда

21. Исследовать сходимость ряда

22. Исследовать сходимость ряда

23. Исследовать сходимость ряда

24. Исследовать сходимость ряда

25. Исследовать сходимость ряда

26. Исследовать сходимость ряда

27. Исследовать сходимость ряда