4.6. Уравнения 2-й степени на плоскости.

Определение. Уравнение 2-го порядка на плоскости называют уравнение вида

a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+a₁₃x+a₂₃y+a₃₃=0 (6.2)

Первые три слагаемые образуют квадратичную форму и определяют тип кривой 2-го порядка. Начнем изучение этого уравнения в его каноническом виде.

Определение. Множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, равна постоянной 2а, называют эллипсом.

Если расположить указанные точки симметрично началу координат и на оси Ох F₁ (0;-с) и F₂(0;с), то после решения задачи типа 2 получим каноническое уравнение эллипса .

В этом уравнении параметры эллипса а, в, с связаны соотношением а²-b²=c² . Можно рассмотреть геометрический способ построения эллипса – в лист бумаги вколоть две шпильки, связать свободным кольцом нить, одеть кольцо на шпильки, оттянуть карандашом нить и в таком состоянии двигать карандаш вокруг шпилек – он опишет эллипс.

Точки пересечения эллипса с осями координат называют вершинами эллипса. Расстояния от начала координат до вершин называют полуосями эллипса. Полуось, на которой расположены фокусы – а – называется большой полуосью, b – малой.

Отношение 2c/2a=c/a называют эксцентриситет эллипса. Эксцентриситет (бывший центр) характеризует степень вытянутости эллипса вдоль большой полуоси и может принимать значения от 0 до 1. В первом случае эллипс превращается в окружность (a=b), а во втором – эллипс вырождается в отрезок F₁F₂. Эллипс – одна из классических кривых 2-го порядка.

Определение. Множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, равна постоянной 2а, называют гиперболой.

Если расположить указанные точки симметрично началу координат и на оси Ох F₁ (0;-с) и F₂(0;с), то после решения задачи типа 2 получим каноническое уравнение эллипса .

В этом уравнении параметры гиперболы а, в, с связаны соотношением а²+b²=c² .

Точки пересечения гиперболы с осями координат называют вершинами гиперболы. Обнаруживается, что гипербола пересекает только ось Ох. Но в аналитической геометрии этот факт истолковывают так : гипербола пересекает ось Ох в действительных вершинах A₁(-a;0) и A₂(-a;0), а ось Оу в мнимых вершинах В₁(0;-b) и B₂(0;b). Соответственно, расстояния от начала координат до действительных вершин называют действительными полуосями гиперболы, а расстояния от начала координат до мнимых вершин называют мнимыми полуосями гиперболы. Фокусы расположены на действительной полуоси. Отношение 2c/2a=c/a называют эксцентриситет гиперболы. Эксцентриситет может принимать значения от 1 до бесконечности. Гипербола – одна из классических кривых 2-го порядка.

Отметим некоторые особенности построения гиперболы. Из канонического уравнения гиперболы видно, что кривая симметрична относительно обеих координатных осей. Построим ее только в первой четвертью Для этого вычислим у из канонического уравнения y=. Если теперь увеличивать х неограниченно, то второй сомножитель со временем превратится в 1 и изменение у будет полностью связано первым множителем. Иначе говоря, с увеличением х гипербола приближается, не пересекая, к прямой у=bx/a. Такую прямую в аналитической геометрии называют асимптотой.

Теперь можно приниматься за построение кривой в таком порядке:

1-й шаг – на плоскости с введенной декартовой системой координат изображаем фокусы и действительные вершины гиперболы (точки пересечения с действительной остью);

2-й шаг – строят “опорный прямоугольник” со сторонами x= , y=;

3-й шаг – проводят диагонали прямоугольника – асимптоты кривой;

4-й шаг – в первой четверти координатной плоскости , начиная от вершины проводят плавную кривую вне прямоугольника, которая приближается к асимптоте – диагонали и не пересекает ее;

5-й шаг – отражают полученную кривую в координатных осях и получают всю гиперболу.

Определение. Множество точек плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки F (фокуса) и данной прямой (директрисы), называется параболой.

Если расположить фокус на оси Ох в точке F(p/2;0), а директрису взять в виде х=p/2 и решить задачу типа 2, то получим каноническое уравнение параболы y²=2px.

Отличие такого уравнения параболы от графика квадратного трехчлена чисто символическое – поменялись оси симметрии.