Добавил:

grisha Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брянский институт управления и бизнеса

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Курс лекций математика для группы.doc

Скачиваний:

315

Добавлен:

16.11.2015

Размер:

5.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 549 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

2.9. Свойства симметрических матриц

Определение. Матрицу называют симметрической, если a_ij=a_ji. Для всех i,j.

Теорема. Собственные значения симметрической матрицы – действительные числа, собственные векторы – ортогональны.

Доказательство. Ограничимся матрицей размерности 2. Имеем А=.

Характеристическое уравнение имеет вид к²-(а₁₁+а₂₂)+(а₁₁а₂₂-а₁₂²)=0. Его дискриминант равен (а₁₁+а₂₂)²-4(а₁₁а₂₂-а₁₂²)= (а₁₁-а₂₂)²+4а₁₂²0. А это значит – корни квадратного уравнения действительные числа.

Рассмотрим случай разных корней . Тогда по Виету имеем к₁+к₂= а₁₁+а₂₂, и к₁к₂= а₁₁а₂₂-а₁₂².С другой стороны для к₁ найдем собственный вектор ₁ из системы

Как известно, в этой системе одно из уравнений лишнее, т.к. r(A)=1. И потому мы отбросим , например, второе уравнение в системе и возьмем х₂=а₁₁-к₁ . Тогда получим собственный вектор ₁=(-а₁₂а₁₁-к₁)^T . Из аналогичных рассуждений найдем ₂=(-а₁₂а₁₁-к₂)^T . Теперь вычислим их скалярное произведение ₁₂=а₁₂²+(а₁₁-к₁)(а₁₁-к₂)= а₁₂²+а₁₁²- а₁₁(а₁₁+ а₂₂)+ а₁₁а₂₂-а₁₂² =0.

Если же корни равны, то это происходит только тогда, когда одновременно а₁₂=0 и а₁₁- а₂₂=0. Но это может быть только если к₁= к₂ = а₁₁. Но тогда в качестве ₁ можно взять ₁=(1 0)^T ,а в качестве ₂ можно взять ₂=(0 1)^T. И все равно они будут ортогональны.

2.10. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду

Пусть в ЛП размерности 2 задан =( х1 х2)T в нормированном евклидовом ортогональном базисе i,j.

Определение. Выражение ф(х1,х2)= а11х12+2а12 х1 х2 +а22х22=0 где aij - действительные числа, называют квадратичной формой двух переменных х1,х2. Ее можно записать иначе ф(х1,х2)= (а11х1+а12х2) х2+(а12 х1+а22х2)х2. Затем, используя умножение матрицы на вектор получить ф(х1,х2)= =((),)=(Ах,х), причем матрица А – симметрическая и , как известно, ее собственные векторы ортогональны. Пусть это будут векторы 1 и 2 . Тогда их можно нормировать и принять в качестве базисных в ортонормированном евклидовом ЛП. Построим единичные векторы в новом базисе (базисе собственных векторов матрицы А). Получаем и- новые единичные . И в этом новом базисе вектор =( х’1 х’2)T. Но в этом случае и квадратичная форма примет новый вид ф(х1,х2)= (А(х’1+ х’2), х’1+ х’2). Но т.к.и- собственные для А, то получаем ф(х1,х2)=( (х’1 к1+ х’2 к2), х’1+ х’2)= к1(х’1)2+ к2(х’2)2 . Получен новый вид квадратичной формы, в котором отсутствует произведение текущих координат. Такой вид носит название – канонического вида квадратичной формы.

Т.о. в декартовом базисе собственных нормированных векторов матрицы квадратичной формы сама форма принимает канонический вид.

Остается важная задача: установить связь между координатами вектора =( х1 х2)T начального базиса i,j и координатами того же вектора

=( х’1 х’2)T в новом базисе нормированных собственных векторов матрицы квадратичной формы.

Мы имеем = х1i+х2j = х’1I+х’2J . Но I и J тоже векторы, правда единичной длины. И потому I=iCos +jCos(90-), J= iCos +jCos(90+). Или после подстановки полученного вместо координат х’1,х’2 получим связь между старыми и новыми координатами =( х’1 х’2)T, которая соответствует матрице поворота плоскости на некоторый угол.