- •Лекционный курс
- •Раздел 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии
- •Тема 1. Элементы векторной алгебры и ее приложения.
- •1.1. Линейные операции над векторами
- •1.2. Скалярное произведение векторов
- •1.3. Векторное произведение векторов
- •1.4. Типовые задачи, решаемые средствами векторной алгебры
- •1.5. Линейное, евклидово и нормированное пространства.
- •Тема 2. Матрицы и определители
- •2.1. Понятие матрицы и действия с ними.
- •2.2. Транспонирование матриц
- •2.3. Произведение матриц.
- •2.4. Ранг матрицы
- •2.5. Понятие обратной матрицы
- •2.6.Определители и их свойства.
- •2.7. Линейные операторы и матрицы
- •2.8. Задача о собственных значениях
- •2.9. Свойства симметрических матриц
- •2.10. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду
- •Тема 3. Системы линейных уравнений
- •3.1.Формулы Крамера
- •3.2. Метод Гаусса.
- •3.3.Матричный метод решения линейной системы.
- •3.4. Понятие о приближенных методах решения линейных систем
- •Тема 4. Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве.
- •4.1. Уравнения линий и поверхностей
- •4.2. Уравнение 1-й степени на плоскости
- •4.3. Уравнения первой степени в пространстве
- •4.4. Уравнения первой степени в пространстве
- •4.5. Типовые задачи на плоскость в пространстве.
- •4.6. Уравнения 2-й степени на плоскости.
- •4.7. Уравнения 2-й степени в пространстве
- •4.8. Цилиндры и поверхности вращения
- •Раздел 2. Математический анализ и дифференциальные уравнения.
- •Тема 5.Функции и их свойства
- •5.1. Функция, способы ее задания, свойства, график функции, преобразование графика сдвигом и деформацией.
- •Тема 6. Пределы и непрерывность.
- •6.1. Понятие предела
- •6.2. Замечательные пределы.
- •6.3. Алгоритм вычисления пределов.
- •6.4. Примеры эквивалентных бмв.
- •Тема 7. Производная и дифференциал функции.
- •7.1. Понятие производной
- •7.2. Дифференциальное исчисление функции одного переменного.
- •7.3. Из определения вытекает алгоритм вычисления производной.
- •7.4.Таблица и основные правила.
- •7.5. Производная и дифференциал.
- •7.6. Производная и дифференциал высшего порядка.
- •Тема 8. Приложения производной
- •8.2.Приложение производной к исследованию функций.
- •Тема 9. Неопределенный интеграл.
- •9.1.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства
- •9.3.Методы интегрирования.
- •9.4.Рациональные дроби.
- •9.4.Рациональные тригонометрические функции.
- •9.5.Простейшие иррациональные выражения.
- •Тема 10. Определенный интеграл.
- •Методы нахождения определенного интеграла
- •10. 2.Несобственные интегралы.
- •Тема 11. Дифференциальные уравнения.
- •11.1 Определение дифференциального уравнения
- •11.2. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка. Методы Их Решения.
- •Тема 12 Функции нескольких переменных
- •12.1.Основные понятия
- •12.2.Непрерывность функций нескольких переменных
- •12.3.Частные производные и дифференциалы
- •12.4. Производная по направлению и градиент
- •12.5. Производная сложной функции нескольких переменных
- •12.6. Производные и дифференциалы высших порядков
- •12.7. Производные неявных функций
- •12.8.Экстремумы функций нескольких переменных
- •Раздел 3. Ряды.
- •Тема 13. Числовые и степенные ряды.
- •Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика
- •Тема 14. Основные понятия теории вероятностей.
- •1. Понятие события.
- •2. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
- •3. Статистическое определение вероятности.
- •4. Элементы комбинаторики
- •Тема 15. Основные теоремы теории вероятностей и следствия из них.
- •15.1.Теорема сложения.
- •15.2. Условная вероятность события. Теорема умножения
- •15.3. Вероятность появления хотя бы одного события
- •15.4. Формула полной вероятности.Формула Байеса.
- •15.5. Повторные независимые испытания
- •15.6. Локальная теорема Муавра- Лапласа
- •15.7. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •Тема 16. Случайные величины и способы их описания
- •16.1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные
- •16.2. Функция распределения случайной величины. График функции
- •16.4. Равномерный закон распределения.
- •16.6. Правило «трех сигм».
- •16.7. Показательное распределение.
- •16.8. Функция надежности.
- •16.9. Показательный закон надежности.
- •16.10. Математическое ожидание.
- •16.11. Дисперсия.
- •16.12. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •16.13. Числовые характеристики случайных величин, имеющих некоторые стандартные законы распределения.
- •1. Биномиальное распределение.
- •2. Закон Пуассона.
- •3. Равномерное распределение.
- •4. Нормальное распределение.
- •16.14. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли.
- •Корреляционный анализ.
- •Глоссарий
- •Темы контрольных работ.
- •Основная литература
- •Дополнительная литература
11.2. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка. Методы Их Решения.
Уравнения с разделяющимися переменными.
Определение. Дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения
Имеем или
Общее решение уравнения (1) получим, проинтегрировав последнее равенство.
В общем виде уравнения с разделяющимися переменными представляются как
Пример 1. Найти частное решение уравнения
Решение.
.
Из начального условия находим С = 1 и окончательно у=х
Пример 2. Найти все решения дифференциального уравнения .
Очевидно, что у=0 является решением данного уравнения.
Пусть теперь Тогда
Ответ: ;
Однородные уравнения.
Определение. Дифференциальное уравнение называется однородным, еслигде- произвольное выражение.
Однородное уравнение можно свести к уравнению с разделяющимися переменными.
Определение. Дифференциальное уравнение называется однородным, если , разрешив его относительно производной, мы получим для нее выражение, являющееся функцией только отношения искомой функции к ее аргументу
Для решения данного уравнения делаем подстановку , откудаи. Тогда уравнение преобразуется к виду:
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Решив его относительно и заменив затемнанайдем общее решение уравнения.
Пример 1 Решить уравнение
Пример 2. Решить уравнение
Линейные дифференциальные уравнения.
Определение . Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно является уравнением первой степени относительно искомой функции и ее производной.
(1)
Решение линейного уравнения (1) ищем в виде произведения двух функций u(x) и v(x) : y(x) = u(x)v(x) или y = uv.
Подставим y и в уравнение (1):
(
Найдем u из уравнения как частное решение.
Тогда из уравнения (2) найдем, т.к. оно является уравнением с разделяющимися переменными.
Пример. Решить уравнение
Решение. Обозначим
Приравниваем коэффициент при к нулю:
Подставим в уравнение (*):
Контрольные вопросы и задания для самостоятельной подготовки:
Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения.
Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Неполные уравнения первого порядка.
Линейные уравнения первого порядка.
Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейное однородное уравнение.
Линейное неоднородное уравнение.
Задача Коши и краевая задача для уравнения второго порядка.
Составить дифференциальное уравнение симейств кривых
Составить дифференциальное уравнение симейств кривых
Решить дифференцияльное уравнение с разделяющимися переменными
Решить дифференцияльное уравнение с разделяющимися переменными
Решить дифференцияльное уравнение с разделяющимися переменными
Решить уравнение используя замену переменных
Решить однородное уравнение
Решить однородное уравнение
Решить линейное уравнение первого порядка
Решить уравнение, используя понижение порядка
Решить линейное уравнение