Раздел 2. Математический анализ и дифференциальные уравнения.

Тема 5.Функции и их свойства

В данной теме рассматривается понятие множества. Операции над множествами. Абсолютная величина действительного числа. Понятие окрестности точки. Понятие функции. Функциональная зависимость. Основные свойства функции. Элементарные функции. Классификация функций. Графики основных элементарных функций. Преобразование графиков.

Множество R действительных чисел состоит из двух подмножеств (два подмножества составляют множество) : Q – множество рациональных чисел вида (несократимая дробь) и J - множество иррациональных чисел (нерациональных, которые невозможно представить в виде).

Основные свойства R.

Упорядоченность - между любыми х и у из R имеет место одно из соотношений : либо х < у, либо х=у, либо х > у.

Плотность - между любыми х и у из R такими , что х у , содержится бесконечно много чисел из R.

Непрерывность. Пусть все R разбиты на два класса : нижний А и верхний В так. что каждое х принадлежит только одному классу и притом х такое , что для хА иуВ имеет место х < у. Тогда такое разбиение (сечение) определит единственное действительное, пограничное для разных классов. Само оно (это пограничное) либо наибольшее из А и тогда в В нет наименьшего; либо оно (это пограничное) наименьшее в В и тогда в А нет наибольшего. (В этом смысл теоремы Дедекинда).

Все, что можно измерить и выразить числом (в дальнейшем по умолчанию рассматриваем только действительные числа )– величина.

Простейшая классификация величин: постоянная, переменная, параметр. Такая классификация условна. Для обозначения постоянных по умолчанию принято использовать начальные буквы латинского алфавита a, b , c,… Для переменных – заключительные буквы латинского алфавита x, y , z … Для параметров – p,q,t … (Для целых и натуральных принято использовать буквы i,j,k,l,m,n).

Для измерения и изображения величин используют шкалы . Шкала – это прямая (кривая) с указанным началом отсчета (нулем) , направлением и масштабной единицей. Шкалы используют равномерные и неравномерные – вес зависит от требований практики. Как правило будем использовать равномерные прямолинейные шкалы – числовые оси. Числа и соответствующие им точки на числовой оси обозначают одними и теми же буквами х. И говорят точка (число).

Произвольное подмножество из R обозначают Х (большое).

Принадлежность числа х множеству Х обозначают хХ.

Примеры наиболее распространенных подмножеств.

Отрезок – это Х=[a,b] ={x a x b}. Иногда говорят - сегмент.

Промежуток (интервал) – это Х=(a,b) ={x a <x < b}.

Полуинтервал (полуотрезок) – это Х=[a,b) ={x ax < b}. Скобки и неравенство могут быть в другом месте (около b).

С – верхняя граница множества Х, если хС имеет место x С.

С – нижняя граница множества Х, если хС имеет место x С.

Наибольшая из нижних границ – точная нижняя грань. Аналогичное определение точной верхней грани множества.

Окрестность точки х_о – любой промежуток, содержащий точку х_о .

- окрестность точки х_о – промежуток длиной 2с центром в этой точке, содержащий точку х_о . Обозначается (принято) (х_о–; х_о+).