- •Лекционный курс
- •Раздел 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии
- •Тема 1. Элементы векторной алгебры и ее приложения.
- •1.1. Линейные операции над векторами
- •1.2. Скалярное произведение векторов
- •1.3. Векторное произведение векторов
- •1.4. Типовые задачи, решаемые средствами векторной алгебры
- •1.5. Линейное, евклидово и нормированное пространства.
- •Тема 2. Матрицы и определители
- •2.1. Понятие матрицы и действия с ними.
- •2.2. Транспонирование матриц
- •2.3. Произведение матриц.
- •2.4. Ранг матрицы
- •2.5. Понятие обратной матрицы
- •2.6.Определители и их свойства.
- •2.7. Линейные операторы и матрицы
- •2.8. Задача о собственных значениях
- •2.9. Свойства симметрических матриц
- •2.10. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду
- •Тема 3. Системы линейных уравнений
- •3.1.Формулы Крамера
- •3.2. Метод Гаусса.
- •3.3.Матричный метод решения линейной системы.
- •3.4. Понятие о приближенных методах решения линейных систем
- •Тема 4. Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве.
- •4.1. Уравнения линий и поверхностей
- •4.2. Уравнение 1-й степени на плоскости
- •4.3. Уравнения первой степени в пространстве
- •4.4. Уравнения первой степени в пространстве
- •4.5. Типовые задачи на плоскость в пространстве.
- •4.6. Уравнения 2-й степени на плоскости.
- •4.7. Уравнения 2-й степени в пространстве
- •4.8. Цилиндры и поверхности вращения
- •Раздел 2. Математический анализ и дифференциальные уравнения.
- •Тема 5.Функции и их свойства
- •5.1. Функция, способы ее задания, свойства, график функции, преобразование графика сдвигом и деформацией.
- •Тема 6. Пределы и непрерывность.
- •6.1. Понятие предела
- •6.2. Замечательные пределы.
- •6.3. Алгоритм вычисления пределов.
- •6.4. Примеры эквивалентных бмв.
- •Тема 7. Производная и дифференциал функции.
- •7.1. Понятие производной
- •7.2. Дифференциальное исчисление функции одного переменного.
- •7.3. Из определения вытекает алгоритм вычисления производной.
- •7.4.Таблица и основные правила.
- •7.5. Производная и дифференциал.
- •7.6. Производная и дифференциал высшего порядка.
- •Тема 8. Приложения производной
- •8.2.Приложение производной к исследованию функций.
- •Тема 9. Неопределенный интеграл.
- •9.1.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства
- •9.3.Методы интегрирования.
- •9.4.Рациональные дроби.
- •9.4.Рациональные тригонометрические функции.
- •9.5.Простейшие иррациональные выражения.
- •Тема 10. Определенный интеграл.
- •Методы нахождения определенного интеграла
- •10. 2.Несобственные интегралы.
- •Тема 11. Дифференциальные уравнения.
- •11.1 Определение дифференциального уравнения
- •11.2. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка. Методы Их Решения.
- •Тема 12 Функции нескольких переменных
- •12.1.Основные понятия
- •12.2.Непрерывность функций нескольких переменных
- •12.3.Частные производные и дифференциалы
- •12.4. Производная по направлению и градиент
- •12.5. Производная сложной функции нескольких переменных
- •12.6. Производные и дифференциалы высших порядков
- •12.7. Производные неявных функций
- •12.8.Экстремумы функций нескольких переменных
- •Раздел 3. Ряды.
- •Тема 13. Числовые и степенные ряды.
- •Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика
- •Тема 14. Основные понятия теории вероятностей.
- •1. Понятие события.
- •2. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
- •3. Статистическое определение вероятности.
- •4. Элементы комбинаторики
- •Тема 15. Основные теоремы теории вероятностей и следствия из них.
- •15.1.Теорема сложения.
- •15.2. Условная вероятность события. Теорема умножения
- •15.3. Вероятность появления хотя бы одного события
- •15.4. Формула полной вероятности.Формула Байеса.
- •15.5. Повторные независимые испытания
- •15.6. Локальная теорема Муавра- Лапласа
- •15.7. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •Тема 16. Случайные величины и способы их описания
- •16.1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные
- •16.2. Функция распределения случайной величины. График функции
- •16.4. Равномерный закон распределения.
- •16.6. Правило «трех сигм».
- •16.7. Показательное распределение.
- •16.8. Функция надежности.
- •16.9. Показательный закон надежности.
- •16.10. Математическое ожидание.
- •16.11. Дисперсия.
- •16.12. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •16.13. Числовые характеристики случайных величин, имеющих некоторые стандартные законы распределения.
- •1. Биномиальное распределение.
- •2. Закон Пуассона.
- •3. Равномерное распределение.
- •4. Нормальное распределение.
- •16.14. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли.
- •Корреляционный анализ.
- •Глоссарий
- •Темы контрольных работ.
- •Основная литература
- •Дополнительная литература
6.4. Примеры эквивалентных бмв.
При достаточно малых х (т.е. х близких к 0) эквивалентными будут:
Sinx и х ; tgx и x; arcSinx и x; arctgx и x; ex и 1+x; ln(1+x) и x; и 0,5x;
и x. Эти сведения удобны в приближенных вычислениях и вычислении пределов.
Контрольные вопросы и задания для самостоятельной подготовки:
Числовые последовательности.
Операции над числовыми последовательностями.
Ограниченные и неограниченные последовательности.
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
Понятие сходящейся последовательности.
Основные свойства сходящихся последовательностей.
Предельный переход в неравенствах.
Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
Число е.
Предел функции в точке.
Односторонние пределы.
Предел функции при
Теоремы о пределах функций, связанные арифметическими действиями.
Два замечательных предела.
Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
Определение непрерывности функции. Арифметические действия над непрерывными функциями.
Определение и классификация точек разрыва функции.
Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение.
Ограниченность непрерывной функции на отрезке.
Теорема о достижении функцией, непрерывной на отрезке, своих точных граней.
Понятие равномерной непрерывности функции.
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Тема 7. Производная и дифференциал функции.
В теме рассмотрены задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Схема вычисления производной. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций. Понятие производных высших порядков. Использование понятия производной в экономике. Понятие дифференциала функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Понятие о дифференциалах высших порядков.
7.1. Понятие производной
Определение. Разность у2-у1=называют приращением переменной у. Если у=f(x), то =f(x+)-f(x).
Опр. f(x) называют непрерывной в точке хо, если беконечно малому приращению аргумента соответствует беконечно малое приращение функции.
Симолически это записывают так .
Это определение эквивалентно определению : f(x) называют непрерывной в точке хо, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке. Симолически это записывают так =f(хо). Часто используют и такую символику =f().
Из этих определений вытекает, что в точке непрерывности значение функции не бесконечно.
Теорема. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке их области определения.
Доказательство проведем на примере одной функции, чтобы показать механизм такой проверки.
Пусть дана функция у=6х2 . Область ее определения – все действительные числа. Возьмем фиксированное х. Вычислим значение функции в этой точке . Имеем f(x)=6х2. Теперь дадим х приращение и вычислим значение функции в новой точке. Имеемf(x+)=6(х+)2=6(х2+2х+2). Теперь найдем приращение функции при переходе от одной точки ко второй. Получаем f(x+)-f(x)= 6(х2+2х+2)- 6х2=12х+2 . При 0 получаем=0. А т.к. точку мы брали произвольно из области определения, то все доказанное справедливо в любой точке области определения. Что и требовалось.
Отметим простейшие свойства функций, непрерывных в точке.
Сумма, разность, произведение и частное конечного числа непрерывных в данной точке функций есть функция непрерывная в этой точке. За исключением случая, когда знаменатель дроби обращается в нуль в этой точке.
Сложная функция (суперпозиция) непрерывна в точке, если непрерывные еe составляющие.
Если у=f(x) непрерывна и монотонна в данной точке, то непрерывна и обратная к ней функция.
Отметим некоторые приемы исследования функций на непрерывность в подозрительной на разрыв точке. Подозрительными на разрыв точками будут точки, где происходит стыковка двух аналитических соотношений, определяющих данную функцию. В этих точках следует проверить выполнение равенства f(хо+0)=f(хо-0)=f(хо) где – хо подозрительная точка, а f(хо+0)= - правосторонний предел функции в точке; аналогичноf(хо-0) – левосторонний предел. Если равенство нарушается в каком-либо месте, то говорят о разрыве функции в данной точке. При этом разрывы классифицируют: если равенство просто нарушено, но односторонние пределы конечные и функция имеет значение в точке, то разрыв относят к 1-му роду. В противном случае точка считается точкой разрыва 2-го рода.
В заключение сформулируем свойства функций, непрерывных на отрезке.
Опр. Если f(x) непрерывна в каждой точке отрезка, то говорят, что она непрерывна на отрезке.
Теорема. Если f(x) непрерывна на отрезке, то она ограничена на нем. (Т.е. ее значения не бесконечны).
Теорема. Если f(x) непрерывна на отрезке, то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. (Т.е. из всех ее значений можно указать наибольшую нижнюю и наименьшую верхнюю границы)
Теорема. Если f(x) непрерывна на отрезке и принимает на нем значения А и В, то хотя бы в одной точке этого отрезка она принимает любое значение между А и В.
Следствие. Если на концах отрезка функция имеет разные знаки, то внутри отрезка существует хотя бы одно точка, где функция обращается в нуль.
Эту точку называют корнем (нулем) функции. И это свойство используют для изоляции корней конечным отрезком во время приближенного решения уравнений.