- •Лекционный курс
- •Раздел 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии
- •Тема 1. Элементы векторной алгебры и ее приложения.
- •1.1. Линейные операции над векторами
- •1.2. Скалярное произведение векторов
- •1.3. Векторное произведение векторов
- •1.4. Типовые задачи, решаемые средствами векторной алгебры
- •1.5. Линейное, евклидово и нормированное пространства.
- •Тема 2. Матрицы и определители
- •2.1. Понятие матрицы и действия с ними.
- •2.2. Транспонирование матриц
- •2.3. Произведение матриц.
- •2.4. Ранг матрицы
- •2.5. Понятие обратной матрицы
- •2.6.Определители и их свойства.
- •2.7. Линейные операторы и матрицы
- •2.8. Задача о собственных значениях
- •2.9. Свойства симметрических матриц
- •2.10. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду
- •Тема 3. Системы линейных уравнений
- •3.1.Формулы Крамера
- •3.2. Метод Гаусса.
- •3.3.Матричный метод решения линейной системы.
- •3.4. Понятие о приближенных методах решения линейных систем
- •Тема 4. Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве.
- •4.1. Уравнения линий и поверхностей
- •4.2. Уравнение 1-й степени на плоскости
- •4.3. Уравнения первой степени в пространстве
- •4.4. Уравнения первой степени в пространстве
- •4.5. Типовые задачи на плоскость в пространстве.
- •4.6. Уравнения 2-й степени на плоскости.
- •4.7. Уравнения 2-й степени в пространстве
- •4.8. Цилиндры и поверхности вращения
- •Раздел 2. Математический анализ и дифференциальные уравнения.
- •Тема 5.Функции и их свойства
- •5.1. Функция, способы ее задания, свойства, график функции, преобразование графика сдвигом и деформацией.
- •Тема 6. Пределы и непрерывность.
- •6.1. Понятие предела
- •6.2. Замечательные пределы.
- •6.3. Алгоритм вычисления пределов.
- •6.4. Примеры эквивалентных бмв.
- •Тема 7. Производная и дифференциал функции.
- •7.1. Понятие производной
- •7.2. Дифференциальное исчисление функции одного переменного.
- •7.3. Из определения вытекает алгоритм вычисления производной.
- •7.4.Таблица и основные правила.
- •7.5. Производная и дифференциал.
- •7.6. Производная и дифференциал высшего порядка.
- •Тема 8. Приложения производной
- •8.2.Приложение производной к исследованию функций.
- •Тема 9. Неопределенный интеграл.
- •9.1.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства
- •9.3.Методы интегрирования.
- •9.4.Рациональные дроби.
- •9.4.Рациональные тригонометрические функции.
- •9.5.Простейшие иррациональные выражения.
- •Тема 10. Определенный интеграл.
- •Методы нахождения определенного интеграла
- •10. 2.Несобственные интегралы.
- •Тема 11. Дифференциальные уравнения.
- •11.1 Определение дифференциального уравнения
- •11.2. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка. Методы Их Решения.
- •Тема 12 Функции нескольких переменных
- •12.1.Основные понятия
- •12.2.Непрерывность функций нескольких переменных
- •12.3.Частные производные и дифференциалы
- •12.4. Производная по направлению и градиент
- •12.5. Производная сложной функции нескольких переменных
- •12.6. Производные и дифференциалы высших порядков
- •12.7. Производные неявных функций
- •12.8.Экстремумы функций нескольких переменных
- •Раздел 3. Ряды.
- •Тема 13. Числовые и степенные ряды.
- •Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика
- •Тема 14. Основные понятия теории вероятностей.
- •1. Понятие события.
- •2. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
- •3. Статистическое определение вероятности.
- •4. Элементы комбинаторики
- •Тема 15. Основные теоремы теории вероятностей и следствия из них.
- •15.1.Теорема сложения.
- •15.2. Условная вероятность события. Теорема умножения
- •15.3. Вероятность появления хотя бы одного события
- •15.4. Формула полной вероятности.Формула Байеса.
- •15.5. Повторные независимые испытания
- •15.6. Локальная теорема Муавра- Лапласа
- •15.7. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •Тема 16. Случайные величины и способы их описания
- •16.1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные
- •16.2. Функция распределения случайной величины. График функции
- •16.4. Равномерный закон распределения.
- •16.6. Правило «трех сигм».
- •16.7. Показательное распределение.
- •16.8. Функция надежности.
- •16.9. Показательный закон надежности.
- •16.10. Математическое ожидание.
- •16.11. Дисперсия.
- •16.12. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •16.13. Числовые характеристики случайных величин, имеющих некоторые стандартные законы распределения.
- •1. Биномиальное распределение.
- •2. Закон Пуассона.
- •3. Равномерное распределение.
- •4. Нормальное распределение.
- •16.14. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли.
- •Корреляционный анализ.
- •Глоссарий
- •Темы контрольных работ.
- •Основная литература
- •Дополнительная литература
7.4.Таблица и основные правила.
Применяя алгоритм, легко получить такие правила поиска производных:
(с)’=0 ; x’=1; (u(x) v(x))’=( u(x))’ (v(x))’.
Сложнее получить формулу (u(x)v(x))’=u’(x)v(x)+u(x)v(x). Получим ее, несколько сократив запись алгоритма. Получаем f(x)= u(x)v(x). Тогда f(x+)= u(x+)v(x+). Но лучше это записать так f(x+)= (u(x)+)(v(x)+), потому что при изменении переменной х изменяются и переменные u и v. Далее получаем f(x+)- f(x)== (u(x)+)(v(x)+)--u(x)v(x)= v(x) +u(x) . Разделим полученное на и вычислим предел отношения. Получим рабочую формулу.
По аналогичной схеме можно получить производную частного =. Для доказательства достаточно записатьf(x+)= в виде f(x+)= и далее продолжить алгоритм вычисления производной ==
==.
Если y=f(x) и х=ф(у) взаимно обратные функции, то их производные связаны соотношением y’x=. Доказательство следует из =
Если y=f(x) и х=ф(t) (т.е. y=f(ф(t)) – сложная функция), то y’t= y’xx’t , где y’x= f’x(x) , а x’t = ф’t(t).
Доказательство следует из цепочки преобразований = и затем вычислить предел полученного при 0, что приведет к тому что 0.
Бывают ситуации, когда функция y=f(x) задана параметрически, т.е. в виде . Тогда используют тот факт, что отношение всегда можно преобразовать по схеме . А при вычислении производной получить в ответе запись y’=.
Используя эти правила, получаем сначала таблицу производных основных элементарных функций.
Функция Ее производная Вывод формулы и комментарии
y=ax , a1,a>0; y’= ax lna; Имеем y+= ax+ , =ax+-ax = ax (a-1)
Теперь ==
= ax =ax lna.
y=ex , y’= ex ; Как частный случай для предыдущей
формулы.
y=lnx y’=; Т.к. х=eу , то на основании связи производных
взаимно обратных функций имеем
(lnx)’x====.
y=х , y’=х , Имеем y=х = elnx . Далее используем
предыдущую формулу и производную от
сложной
функции y’= elnx =х .
y=Sinx y’=Cosx Имеем =Sin(x+)-Sinx=2CosSin;
теперь y’= =
=Cosx.
y=Cosx y’=-Sinx В самом деле (Cosx)’=(sin(-x))’=
Cos(-x)(-x)’=-Sinx.Применена формула
Приведения и производная сложной
функции.
y=tgx y’= Достаточно записать производную от дроби
(tgx)’= далее преобразовать рез-т.
y=arcSinx y’= В самом деле, по условию x=Siny. Для
взаимно обратных функций имеем (arcSinx)’=
====.
y=arctgx y’= Схему получения смотри выше.
y=arcCosx y’=- Ввиду того, что arcCosx=-arcSinx.
y=arcctgx y’=- Схему получения смотри выше.
В тех случаях, когда применить вышеприведенные правила и таблицу затруднительно, можно использовать прием, называемый логарифмическим дифференцированием . Пусть мы имеем y=. Тогда невозможно применить ни одну их записанных выше формул. Поступают так. Сначала логарифмируем обе части равенства и получаем lny=ф(х)ln(f(x)). Теперь возьмем производную от каждой части равенства, зная, что у – это функция от х. Получаем y’=ф’(x)lnf(x)+ф(x) f’(x). Из полученного равенства найдем требуемое
y’=y(ф’(x)ln(f(x))+ф(x) f’(x))=(ф’(x)ln(f(x))+ф(x) f’(x)).
Возможен и другой подход. Имеем y==. После чего можно искать производную по правилу сложной функции. Получаем
y’=( ф’(x)lnf(x)+ф(x) f’(x))= (ф’(x)ln(f(x))+ф(x) f’(x)).
Если же функция y=f(x) задана неявно, т.е. уравнением F(x;y)=0, то для поиска производной следует взять производную от равенства F(x;y)=0, зная, что у= f(x), хотя f(x) и неизвестна. Затем из полученного равенства находят y’.