15.5. Повторные независимые испытания

Формула Бернулли.

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

Если независимые повторные испытания проводятся при одном и том же комплексе условий, то вероятность наступления события А в каждом испытании одна и та же.

Описанная последовательность независимых испытаний получила название схемы Бернулли.

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Условимся, что вероятность события А в каждом испытании равна р. Следовательно, вероятность ненаступления события А также постоянна и равна q=1-p.

Вычислим вероятность того, что в п испытаниях событие А осуществится ровно k раз и , следовательно, не осуществится раз. Важно подчеркнуть, что не требуется , чтобы событие А повторялось ровноk раз в определенной последовательности. Например, если речь идет о появлении события А два раза в трех испытаниях , то возможны следующие сложные события:

, т.е. .

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в п испытаниях событие А наступит k раз и не наступит раз, по теореме умножения вероятностей для независимых событий равнаТаких сложных событий столько, сколько можно составить сочетаний из п элементов поk элементов, т.е. Так как эти сложные событиянесовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий , т.е. вероятности одного сложного события, умноженной на их число:

(13) - формула Бернулли.

Пример. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди 5 отобранных.

Решение. Вероятность изготовления бракованной детали р = 1-0,8 =0,2. Искомые вероятности находим по формуле Бернулли:

Полученные вероятности изобразим графически точками с координатами (k,Р_п(k)). Соединяя эти точки, получим многоугольник или полигон распределения вероятностей (Рис.1).

Рис.1

Рассматривая многоугольник распределения вероятностей, мы видим, что есть такие значения k ( в данном случае k₀=1), обладающие наибольшей вероятностью. Число k₀ наступления события А в п независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события Р_п(k₀) по крайней мере не меньше вероятностей других событий Р_п(k) при любом k. Для нахождения k₀ используют неравенство

np-q k₀np+q (14),