Тема 2. Матрицы и определители

В этой теме Операции над матрицами. Определители квадратных матриц. Свойства определителей. Обратная матрица. Ранг матрицы.

2.1. Понятие матрицы и действия с ними.

Определение. Матрицей называют таблицу объектов произвольной структуры, расположенных в виде строк и столбцов.

Обозначают матрицы заглавными латинскими буквами - А, В, .... Допустимо использование правых нижних и верхних индексов - А^Т, А^-1 и т.д..

Фактический вид матрицы .

В этой матрице m строк и n столбцов. Говорят: матрица А имеет размерность m на n. Это - первая и простейшая классификация матриц. В частности матрица может быть матрицей-строкой. А также матрицей-столбцом.

Выражения a_ij - называют элементами матрицы. Первый индекс - номер строки, в которой расположен данный элемент; второй индекс - номер столбца, в котором расположен этот элемент. При чтении строго называйте индексы в указанном порядке “ строка- столбец” - этим самым элемент однозначно локализуется в матрице.

По содержанию элементов матрицу тоже классифицируют: если элементы - функции, то матрица функциональная; если элементы - числа, то матрица числовая. Примером матрицы может служить платежная ведомость, понижающий или повышающий трансформатор с двумя обмотками.

Важным частным случаем является единичная матрица, обозначаемая всегда Е , имеющая вид квадратной матрицы, нужной в данный момент размерности.

Следующие классы матриц будут введены по необходимости позднее.

Определение. Две матрицы будем называть равными, если равны их соответствующие элементы.

Это определение указывает, что для сравнения матриц следует:

- проверить равенство конфигураций матриц (подразумевается по умолчанию - “default”);

- сопоставить между собой в матрицах все элементы, имеющие одинаковые индексы.

Все сказанное символически записывают так : А=В a_ij=b_ij i,j.

Определение. Суммой матриц А и В называют матрицу С, для которой справедливо соотношение a_ij+b_ij =с_ij i,j.

Это определение указывает, что для суммирования матриц следует:

- проверить равенство конфигураций;

- суммировать между собой в матрицах все элементы, имеющие одинаковые индексы.

Определение. При умножении матрицы А на величину следует на эту величину умножить все элементы матрицы.

Символически Аa_{ij .}

Приведем свойства операций суммирования матриц и произведения матрицы на число, непосредственно вытекающие из определения этих операций. Пусть А,В и С – матрицы, имеющие одинаковый размер, а и в - некоторые действительные числа. Тогда:

1),

2),

3),

4),

5),

6) где- нулевая матрица,

7).

2.2. Транспонирование матриц

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка( или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). Пусть дана исходная матрица А:

Тогда, согласно определению, транспонированная матрица

Сокращенная форма записи операции транспонирования матрицы:

Пример3. Пусть даны матрицы А и В :

Тогда соответствующие транспонированные матрицы имеют вид

Не трудно заметить две закономерности операции транспонирования матриц.

1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:

2. При транспонировании квадратных матриц элементы, находящиеся на главной диагонали, не меняют своих позиций, т.е. главная диагональ квадратной матрицы не меняется при транспонировании.

Важную роль в алгебре и ее приложениях играют симметрические матрицы – квадратные матрицы, у которых элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, т.е. a_ij=a_ji. Транспонирование матриц не меняет их вида, так что равенство

также можно полагать определением симметрической матрицы.