Математика для економістів Заоч. 2010 ч

12. Знайти визначені інтеграли

/ 2

8

x

1/ x

dx

dx

а)

dx. ; б)

; в)

.

1 cos x

x 2

x 2 1

4x 5

3

/ 2

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Ох):

y x 2 , y 2 x 0.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

8

x2 4dx .

2

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

y

x2

xy y 2

.

а) y(4 e x )dy e x dx 0.

x2

2xy

; б)

;

y

y

1

y

2x 5

cos

dx

cos

2 y dy 0.

в) y

y 5, y(2)

4.; г) x2

x

x

x

x2

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y|V 4 y 4 y 2 y x x 2 .

Обчислити (8xy

9x2 y 2 )dxdy; D : x

x3 .

17.

1, y

3 x, y

D

18.

Дослідити на збіжність ряд:

4n n2

n 1

. ; б)

n

1

n

n

.

sin n

а)

n 2 !

; в)

.

n

1 n

5n

n 1 n!

19.

Знайти область збіжності ряду:

(x

7)2n 1

.

n 1

2n2

5n 4n

20. Визначити, яку облікову ставку застосував банк, коли заплатив 1500 грн. за вексель номіналом 1600 грн. Термін платежу за векселем настає через 3 місяці.

Варіант №12

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

x 2	2 y		z	4,
2x	y		3z	7,
3х	3	у	2z	1.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

3 2 2

2 1 2 .

22 3

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(2,	,4,6),
B(0,	2,4),
C(6,	8,10).

2)	Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4		і його
висоту, опущену із вершини A4		на грань A1 A2 A3 .
		А1 (1,1,2),
		A2 ( 1,1,3),
		A3 (2, 2,4),
		A4 ( 1,0, 2).
4. Прибуток від продажу деякого товару в двох магазинах виражається
функціями y	8 24x і y 15 30x ,	де x - кількість товару в сотнях штук,	а y -

прибуток в тисячах гривень. Визначити, починаючи з якої кількості товару більш вигідним становиться продаж у другому магазині.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (- 2,2,4), В (2,8,5), С (4,6,6).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани СЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній

кут С у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АС.

6. Обчислити границі:

(n

1)3

(n

2)3

а) lim

. ; б) limn2

(3 5

n3

3 3

n3 ) ;

3

n

(n

4)

(n

5)

3

n

2n 2

5n

7

n . ; г)

x3

x2

5x 3

в) lim

lim

. ; д) lim

1 x

1

x

.

2n 2

5n 3

x3

x2

n

x 1

x 1

x 0 3 1 x

3 1

x

7. Продиференціювати вказані функції:

а) f (x)

cos x

;

б)

x

10t 3

2t;

в)

Lnx2

y

x4 y3 cos y 0 .

e x

et

y

5

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

		1	2
	y 1		.
		x

9. Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a) sin 91 ;
	б) 51.

10. Знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних:

	z x3	y3	3xy	у прямокутнику	0	x	2,
					1	y	2.

ІІ семестр

11. Знайти невизначені інтеграли:

а) (4x 3)e 2 x dx. ; б)	x cos x sin x	dx.; в)	x3 6x2	13x 8	dx.
				2)3
	(x sin x)2		x(x

12. Знайти визначені інтеграли:

	а)		3 arctgx		x	dx. ; б)	2	/
		0		1 x	2		1	/

	sin	1			5
		x		dx ; в)		dx	.
	x2				0	x 5 2

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Ох):

x 2 ( y 2)2 1.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

8

x2 25 .

2

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

а) y(4 e x )dy e x dx 0.; б) xy

2x2 y 2 y. ;

x

y dx x

y

dy 0.

в)

y

y

x 1

e

x

, y(1) e.; г)

x 2 y 2

x 2 y 2

x

x

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

	7y y	12x.
17.	Обчислити (24xy 18x2 y 2 )dxdy; D : x	1, y x3 , y 3 x.
	D
18.	Дослідити на збіжність ряд:

nn

2 .

n2

n

2n

3

( 1)

а) n 1 (n!) ; б)

. ; в)

.

n

1

n 3 n ln 2n

n 1

19. Знайти область збіжності ряду:

(x

2)n

.

n 1

3n

1 2n

20. Якою буде сума дисконту при розпродажу фінансового інструменту на суму 5000 грн., якщо строк його погашення становить 2 роки, а покупець застосовує складну річну облікову ставку 20%?

Варіант №13

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

	2 у	z 23,
4x	5y	2z	74,
x	6 y	4z	81.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

3 2 2

0 3 0 .

0 2 1

3. 1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(0,1, 2),

B(3,1,2),

C(4,1,1).

2)Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту,

опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (2,3,1),

A2 (4,1, 2),

A3 (6,3,7),

A4 (7,5, 3).

4.Прибуток від продажу 60 одиниць деякого товару становить 120 грн., 150 од.

–320 грн. Визначити прибуток від продажу 480 од. Товару, за умови, що функція прибутку лінійна.

5.Подані координати вершин трикутника АВС: А (- 3,2,1), В (1,6,3), С (7,0,5).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній

кут С у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка

проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

6. Обчислити границі:

(n

3)3

(n

4)3

а)

lim

. ;

б) lim(3

(n

2)2

3 (n

3)2 ) ;

(n

3)

4

(n

4)

4

n

n

x3

4x2

5x 2

3

4x 2

lim

. ;д) lim

.

x

3

3x 2

x 1

x 2

2

x

2x

7. Продиференціювати вказані функції:

a)

f (x)

e x 2x 5 ; б)

x

t 2

1/ t 2

; b) etgx

ectgx

y

arcsint

			n	1	n2
	в)	lim			. ;	г)
			n	1
		n

x3 y 0

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y12 3x2 . x2 12

9.Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a)sin31 ; б) 170.

10.Знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних:

z x2 y 2 6x 4 y 2 у прямокутнику з вершинами A(1; 3) , B(1,2) , C(4,2) , D(4, 3) .

ІІ семестр

11. Знайти невизначені інтеграли:

а) (2 9x)e 3x dx. ; б)

x3

x

dx. ; в)

x3

6x2

14x 6

dx.

x4

1

(x

1)(x

2)3

12. Знайти визначені інтеграли

/ 3

8

3 x

(arctgx)4

dx

а)

dx. ; б)

; в)

x 11dx .

1 x

2

2

0

/ 6

sin x

2

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Ох):

y 1 x 2 , x 0.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

8

x 2 27dx .

2

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

2xy2 dx.; б) y

y 2

6

y

6. ;

2xdx

2 ydy x 2 ydy

а)

x2

x

1

xy

dx

1

xy

dy

0.

y

ln x

в)

y

2

, y(1)

1.; г)

x2 y

xy2

x

x

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y

2 y

3x 2

x

4.

17.

Обчислити

(12xy

27x2 y 2 )dxdy; D : x

1, y

x2 , y 3 x (x 0).

D

18.

Дослідити на збіжність ряд:

72n

. ; б)

n . ; в)

а) n 1 (2n

1)!

n2

3n

2

(

1)n tg

1

.

4n

1

n 1

n 1

n

19.

Знайти область збіжності ряду:

3n

(x

2)3n .

3

n 1 5n

8

20. Позичено 20 тис. грн. під 24% річних простих на 6 місяців. Відсотки нараховуються щомісяця. Розрахуйте ставку простих відсотків, що враховує інфляцію, при щомісячному індексі інфляції 100,05%.

Варіант №14

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

x	y	2z	1,
2x	y	2z	4,
4х	у	4z	2.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

5 2 2

0 5 0 .

0 2 3

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(3,3, 1),

B(1,5, 2),

C(4,1,1).

2)Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його

висоту, опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (1,1, 1),

A2 (2,3,1),

A3 (3,2,1),

A4 (5,9, 8).

4. Витрати виробництва 40 одиниць деякого товару складають 160 грн., а 200

одиниць – 600 грн. Визначити витрати виробництва 160 од. товару за умови, що функція витрат є лінійною.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (3,3,3), В (4, -2,5) , С (11,5,3).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани СЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут С у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АС.

6. Обчислити границі:

а)

lim

(n

1)4

(n

1)

4

.; б) lim

(n

1)3

n(n

1)(n

3)

;

(n

1)

3

(n

1)

3

n

n

n

в)

lim

5n 2

3n 1

n .; г) lim

x4

1

.

n

5n 2

3n 3

x 1

2x4

x2

1

7.

Продиференціювати вказані функції:

1

x

ecos t

ecos x

esin y x4 y5 0 .

а) f (x) 2 x 1 e x ;б)

;

в)

y

arctgt

8.

Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

9

6x

3x

2

.

x2

2x 13

9.

Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a) arctg 3;

б) 4 15.

10. Знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних:

z x 2

4xy

y 2

6x

y у замкнутім трикутнику, обмеженому осями координат і

прямою x

y

1.

ІІ семестр

11. Знайти невизначені інтеграли:

xdx

x3

6x2

10x

10

dx.

а)

arctg

2x

1dx.; б)

. ; в)

x 4

x 2

1

(x

1)(x

2)3

12. Знайти визначені інтеграли

	1	x3		3 / 2	dx		7
а)			dx. ; б)			; в)		x 36dx .
	0	x2 1		1/ 2	3 4x 2		3

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Ох):

y x 2 , y 1, x 2.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

10

x 2 19dx .

0

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

3y3

8yx2

xy

.;

а) x 4 y 2 dx y 1 x2 dy 0. ; б)

2 y 2

4x2

dx x

y 2

dy 0.

y

12

в) y

, y(1) 4.; г) y

y 2

x

x3

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y 3y 2 y 3x 2 2x.

17.

Обчислити:

(8xy

18x2 y 2 )dxdy; D : x

1, y

3 x, y x2 (x 0).

D

18.

Дослідити на збіжність ряд:

4n n!

а) n 1

. ; б)

n

1

n2

cosn

(3n)!

. ; в)

.

n 2

2n

3

n 1

n2

19. Знайти область збіжності ряду:

n

(x

2)n .

n2

1

n 1

20. Позичено 30 тис. грн. під 24% річних простих на 6 місяців. Відсотки нараховуються щомісяця. Розрахуйте кінцеву суму боргу.

Варіант №15

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

x y z 15, 2x y 8,

z 7.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

7 4 4

2 3 2 .

2 0 5

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(2,1, 1),

B(6, 1, 4),

C(4,2,1).

2)Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його

висоту, опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (1,5, 7),

A2 ( 3,6,3),

A3 ( 2,7,3),

A4 ( 4,8, 12).

4.Витрати перевезення двома транспортними засобами виражаються

функціями y 88 22x і y 220 11x , де x - відстань перевезення в сотнях кілометрів, а y - транспортні витрати в грошових одиницях. Визначити, починаючи з якої відстані

більш економічним стає другий транспортний засіб.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (5,2,5), В (-2,0,2), С (3,-6,6).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ;б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут В у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка

проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

6. Обчислити границі:

8n3

2n

а) lim

.; б)

lim(

n2

3n 2

n2

3) ;

(n

1)

4

(n 1)

4

n

n

2n 3

x3

5x2

8x

4

в) lim

3n

1

. ; г) lim

. ; д) lim

x

1

.

3n 1

x3

3x2

4

x2

1

n

x

2

x 1

7. Продиференціювати вказані функції:

x

arcsint

b) x4 y 2 ln(xy) 5 0

a) y

arcsin

1

3x; б)

;

y

arctg t 2

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y8x . x2 4

9.Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

		a) lg 9;	б) 3 28.
10.	Знайти	найбільше та найменше	значення функції двох			змінних:
z x2 y2	4xy	4 у квадраті, обмеженому осями координат і прямими x				4, y 4 .

ІІ семестр

11. Знайти невизначені інтеграли:

xdx

x3

x 2

dx.

а)

arctg 3x

1dx. ; б)

. ; в)

(x

2)x3

x 2

1

12. Знайти визначені інтеграли

3

sin1

(arcsin x)2

2

x3

10

dx

1

2

а)

dx. ; б)

3e

x

dx ;

в)

7

.

x 7 2

0

1 x2

0

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Ох):

yx3 , y x.

14.Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

7

x 2 22dx .

3

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

а)

(e x

8)dy

yex dx

0. ; б) y

2

y

x 2 , y(1)

5

.

x

6

2

5

y

dx

xy 1

dy

0.

2

в)

y

y

x2 , y(1)

. ; г)

x

x

x

6

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y y 3x 2 2x 1.

	17. Обчислити		4			9		x 2 y 2	dxdy; D : x 1, y x3 , y
				xy						x.
		D	5		11

18. Дослідити на збіжність ряд: