Математика для економістів Заоч. 2010 ч

(1

2n)3

8n3

n2

3n 6 n / 2

. ; г) lim

(1

x3 ) (1 3x)

а)

lim

. ; б) lim(n 3 4

n3 ) ; в)

lim

. ;

2

2

2

(1 2n)

4n

n

5n 1

x x

5

n

n

n

x 0

д) lim

9

2x

5

.

3

x 8

x 2

7. Продиференціювати вказані функції:

x

2

x 1

x

2 ln t

2

а) f (x)

; б)

; в) ecos x

e xy

arcsin y 0 .

x3

4t 5 3t 4

1

y

7

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

4

x3

.

x2

9.Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a)ln3; б) 145 .

10.Знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних:

z y 2x 2 3x у замкнутій області, обмеженій параболою y

x2 та прямою y 1.

ІІ семестр

11. Знайти невизначені інтеграли:

а) (1

6x)e2 x dx. ; б)

tgxln cos xdx. ; в)

2x3

6x2

7x 1

dx.

(x 1)(x 1)3

12. Знайти визначені інтеграли

1/ 2 8x

arctg2x

4

1

xdx

а)

dx.; б)

16 x2 dx ;

в)

.

0

1 4x2

0

x2 1 2

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Ох):

y xex , y 0, x 1.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

	11
поділити на 10 частин		x2 5 .
	1

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

y

x

2y

.

(e

2 x

5)dy

ye

2 x

dx

0. ; б)

y

2x

y

а)

; в) y

x sin x, y( / 2) 1. ; г)

x

(

x

1

1

)dx (

y

1

x

)dy 0.

y y 2

x2

y 2

x y

x 2

y 2

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y|V 2 y

y

x 2

x 1.

17.

Обчислити (18x2 y 2

32x3 y3 )dxdy; D : x

x3 , y

1, y

x.

D

18.

Дослідити на збіжність ряд:

1

arctg

5

.

3 n2

( 1)n

4n

а) n 1 n!

n ; б)

. ; в)

.;

n 1

5n 1

n 3

n ln n 1

19.

Знайти область збіжності ряду

(n 5)2n 1

.

n 1

3n

8

20. Якою буде кінцева сума боргу та відсотки, якщо в угоді передбачено за перші два роки нарахування 20% річних, а в наступні два роки ставка відсотків збільшується щорічно на 5%? Початкова сума боргу становить 100 тис. грн.

Варіант №8

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

3x	z	5,
x	у	2z 3,
х	2 у	2.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

21 0

12 0 .

11 3

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A( 2,1,1),

B(2,3, 2),

C(0,0,3).

2)Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його

висоту, опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 ( 2,0, 4),

A2 ( 1,7,1),

A3 (4, 8, 4),

A4 (1, 4,6).

4. Прибуток від продажу деякого товару в двох магазинах виражається функціями y 10 15x і y 15 16x , де x - кількість товару в сотнях штук, а y -

прибуток в тисячах гривень. Визначити, починаючи з якої кількості товару більш вигідним становиться продаж у другому магазині.

5. Подані координати вершин трикутника АВС :А (- 2,1,2) В (-4,-5,3) С (4,-2,4).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут В у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

6. Обчислити границі:

(3

4n)2

lim

n

10 3n 1

а)

.;

б)

n2

3) ;

в)

. ; г)

lim

lim(

n(n

2)

2n

(n

3)

3

(n

3)

3

1

n

n

n

n

lim

x2

2x

1

.; д) lim

1

2x x 2

(1

x)

.

2x2

x

1

x

x

1

x 0

7. Продиференціювати вказані функції:

x

arcsint

1

2

а)

f (s)

3

; б)

1

; в)

arctgy

xy

arcsin x

0 .

1

s 2

y

cos3 t

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

x2

4x

1

.

x

4

9. Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a) sin136 ;

б)

5 .

10. Знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних:

z

y2

2x2

7x у замкнутій області, обмеженій еліпсом

x2

y 2

1.

4

ІІ семестр

11. Знайти невизначені інтеграли:

а)

ln(x2

4)dx. ; б)

tg(x

1)

dx. ; в)

tg(x

1)

dx.

cos2 (x 1)

cos2 (x

1)

12. Знайти визначені інтеграли

4 1/(2

a

7

x 3 dx

2

dx

x ) 1

а)

dx.

; б)

;

в)

3

.

x 3 2

1 ( x x)2

0

3 a 2

x 2

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Ох):

y

2x x 2 , y

x 2,

x0.

14.Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

11

поділити на 10 частин

x2

8 dx .

1

15.

Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

y y

1

x 2

1

0.

1

y 2

xy 2

x2

y 2

y. ;

y

1

а)

;

б)

в)

y

sin x, y( )

.; г)

x

(sin2x 2cos(x y))dx

2cos(x y)dy 0.

16.

Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

yV

y|V

2x 3.

17.

Обчислити

(27x2 y 2

48x3 y3 )dxdy; D : x

x3 .

1, y

x, y

D

18.

Дослідити на збіжність ряд:

nn

.

n 2

n

n

(

1)

n

1

а) n 1 3 n! ; б)

. ; в)

.

10n 5

n 1 n4

n 1

2n 3

19.

Знайти область збіжності ряду:

1 n

(x

6)n .

n 1 n

3 ln n 3

20. Позичку у 80 тис. грн. надано на півроку під 8% річних. Визначити ставку простих відсотків, що враховує інфляцію, та суму платежу, якщо річний індекс інфляції 110,1%.

Варіант №9

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

x	2 y	z	2,
	z	5,
4х	4 у	z	17.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

41 0

14 0 .

11 5

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A( 4, 20),

B( 1, 2,4),

C(3, 2,1).

2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту, опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (14,4,5),

A2 ( 5, 3,2),

A3 ( 2, 6, 3),

A4 ( 2,2, 1).

4.Прибуток від продажу 75 одиниць деякого товару становить 100 грн., 150 од.

–300 грн. Визначити прибуток від продажу 400 од. Товару, за умови, що функція прибутку лінійна.

5.Подані координати вершин трикутника АВС: А (0,4,2) В (5,8,3) С (7,2,4).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани СЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут С у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АС.

6. Обчислити границі:

(3

n)3

а)

lim

. ; б)

lim( (n

2)(n

1)

(n

1)(n

3)) ;

(n

1)

2

(n 1)

3

n

n

3n 2

в)

lim

6n

7

. ; г) lim

x3

3x 2

.; д)

lim

3

8

3x x 2

2

.

n

6n 4

x 1

x2

x 2

x 0

x x 2

7. Продиференціювати вказані функції:

			x	1
	а) f (t) cos3 4t ;	б)		sin t ;	в) 3cos2 y x 4 y 3 7 sin2 x 0 .

yctgt

8.Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y	2x3		1	.
	x	2

9. Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a) cos149 ; б) 39.

10. Знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних: z xy у

крузі x 2 y 2 9 .

ІІ семестр

11. Знайти невизначені інтеграли:

а) ln(4x2 1)dx.; б)		x3	dx. ; в)	x3	6x2 10x 10	dx.
	(x2	1)2
				(x	1)(x 2)3

12. Знайти визначені інтеграли

	1	xdx		2			2	dx
а)			dx. ; б)		x log2	xdx ; в)	3		.
	0	x4 1		1				x 3 2

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Ох):

y2x x 2 , y x 2.

14.Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

7

x 2 36dx .

3

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

3x 2 ydy 2xy2 dx.; б) 3y

y 2

8

y

4. ; в

а)

6xdx

6 ydy

x2

x

(xy2

x

)dx (x2 y

x2

)dy 0.

y

)

x2 , y(1)

1. ; г)

y

2

y

3

y

2x

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y|V 2 y y 4x 2 .

17. Обчислити

16x2 y 2 )dxdy; D : x

x2 , y

(4xy

1, y

x.

D

18. Дослідити на збіжність ряд:

n!

tg

1

.

n

n

( 1)

а)

n 1 2n ! 5

; б)

n arcsinn

. ; в)

sin

.

4n

n 1

n 1

3n 1

2 n

19. Знайти область збіжності ряду:

(x

6)n

.

n 1

n

2 3n

20. Нарощена сума склала 6 млн. грн., відсоткова ставка – 16% річних, строк зберігання грошей – 4 роки. Визначити первинну суму грошей за простими і складними відсотками.

Варіант №10

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

3x	2 y	z	5,
2x	3y	z	1,
2х	у	3z	11.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

5 1 1

2 4 1 .

2 1 6

3. 1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(5,3, 1),

B(5,2,0),

C(6,4, 1).

2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту,

опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (1,2,0),

A2 (3,0, 3),

A3 (5,2,6),

A4 (8,4, 9).

4. Витрати виробництва 100 одиниць деякого товару складають 150 грн., а 200

одиниць – 400 грн. Визначити витрати виробництва 200 од. товару за умови, що функція витрат є лінійною.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (- 1,0,2), В (1,4,4), С (6,2,1).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани СЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут В у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АС.

6.

Обчислити границі:

(n

1)2

(n

1)2

(n

2)3

а)

lim

.; б) limn2 (

n(n4

1)

n5

8) ;

(4

n)

3

n

n

3n2

4n 1 2n 5

x3

5x2

7x 3

3 27 x

3

27 x

в) lim

.; г) lim

.; д) lim

.

3n2

n

2n 7

x

1 x3

4x2

5x 2

x 0

x 23 x4

7.

Продиференціювати вказані функції:

а) f (v)

(1

sin2 v)4 ; б)

x

arcsint

; в) e xy

x 4 y y5

0 .

y

arcctgt2

8.

Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

(x 1)

2

.

x2

9.

Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a) 3

б) 4

2,01;

80.

10.

Знайти

найбільше

та

найменше

значення

функції

двох

змінних:

z x 2

y 2

xy

x

y у замкнутім трикутнику, обмеженому прямою

x y

3 та осями

координат.

ІІ семестр

11. Знайти невизначені інтеграли:

а)

(2

4x) sin 2xdx. ; б)

1

cos x

dx.; в)

2x3

6x2

7x 2

dx.

(x

sin x)2

x(x

1)3

12. Знайти визначені інтеграли

/ 3 xdx

2

dx

а)

8 x

1/ x

dx. ; б)

;

в)

.

/ 4 sin2 x

2 2

x 2 1

0

x

3

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Ох):

y e1 x , y 0, x 0, x 1.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

8

x2 8dx

2

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

3y3

6 yx2

xy

. ;

а) x 5 y 2 dx y 4 x2 dy 0.; б)

2 y 2

3x2

1

3y 2

2 y

2x

2x2

2

(

)dx

dy 0.

в)

y

y

, y(0)

. ; г)

x

2

x

4

x

3

x2

2

3

1

1 x

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y

y

5x 2

1.

17. Обчислити

9x2 y 2 )dxdy; D : x

x2 .

(12xy

1, y

x, y

D

18. дослідити на збіжність ряд:

6n n2

1

.

n2

n

n!

n

2

n 3n 1

а) n 1

; б)

. ; в)

( 1)

.

n

3n

1

n 1

n 1

19. Знайти область збіжності ряду:

(x 5)2n

1

.

n 1

2n 1 4n

20. Вексель зі строком погашення 2 міс. і номіналом 900 тис. грн., за яким щомісячно нараховується 4% простих, куплений банком за місяць до строку за ставкою 36.4% річних. Якою була поточна вартість векселя?

Варіант №11

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

x	2 y	z	10,
y	2z		2,
3x	4 y	4z	1.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

5 4 4

2 1 2 .

2 0 3

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A( 3, 7, 5),

B(0, 1, 2),

C(2,3,0).

2)Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його

висоту, опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (2, 1,2),

A2 (1,2, 1),

A3 (3,2,1),

A4 ( 4,2,5).

4.Витрати перевезення двома транспортними засобами виражаються

функціями y 120 60x і y 180 30x , де x - відстань перевезення в сотнях кілометрів,
а y - транспортні витрати в грошових одиницях. Визначити, починаючи з якої
відстані більш економічним стає другий транспортний засіб.
5.	Подані координати вершин трикутника АВС:А (1,1,2), В (4,8,3), С (7,3,5).
Знайти:	а) довжину та рівняння медіани АЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній

кут В у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка

проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

6.

Обчислити границі:

2(n

1)2

(n

2)3

n2

n

1

n2

а)

lim

.;

б)

limn(3 5

8n3

2n)

; в)

lim

. ; г)

2

n

2

2n

3

n

n

1

n

n

n

x3

lim

3x

2

.; д) lim

3 x

1

.

x3

x2

x 1

x 1

x 1

1 x

2x

7.

Продиференціювати вказані функції:

а) f (x)

cos e x

arcsin x ; б)

x

sint 2

cost ; в) arctgy

arcsin x 2

x 4 y 2

5 0 .

y

arcsint

8.

Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

x2

y

.

(x

1)2

9.

Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a) arctg 0,97; б)

260.

10.

Знайти

найбільше

та

найменше

значення функції двох змінних:

z

x

2 y

5

у замкнутім

трикутнику,

обмеженому

осями

координат

і

прямою

y

x

1 .

ІІ семестр

11. Знайти невизначені інтеграли:

sin x

cos x

2x3

6x2

7x 2

dx.

а)

arctg 6x

1dx. ; б)

dx. ; в)

(cos x

sin x)5

x(x

1)3