Математика для економістів Заоч. 2010 ч

1 3 5 ...

2n 1

.

2n 1

n 1

n

1)!

n

( 1)

а)

n 1

3 (n

; б)

. ; в)

.

3n 1

n 1 22n n 1

n 1

19. Знайти область збіжності ряду:

1 n

(x 6)n .

n

n 1

3n

1 3

20. Позичено 100 тис. грн. під 25% річних простих на 7 місяців. Відсотки нараховуються щомісяця. Розрахуйте суму відсотків.

Варіант №16

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

4x 3y 2z 1,

3x y z 3, х 2 у 3z 8.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

7 6 6

4 1 4 .

42 5

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A( 1, 2,1),

B( 4, 2,5),

C( 8, 2,2).

2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту,

опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 ( 3,4, 7),

A2 (1,5, 4),

A3 ( 5, 2,0),

A4 (2,5,4).

4. Прибуток від продажу деякого товару в двох магазинах виражається функціями y 8 16x і y 10 19x , де x - лількість товару в сотнях штук, а y -

прибуток в тисячах гривень. Визначити, починаючи з якої кількості товару більш вигідним становиться прожад у другому магазині.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (0,1,1), В (4,6,4), С (8,3,3).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут С у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

6. Обчислити границі:

(n

6)3

(n

1)3

а)

lim

. ; б) lim n( n 2

n

3) ;

(2n

3)

2

(n

4)

2

n

n

2n2

n3

x3

5x2

7n 1

8x 4

3 9x 3

в) lim

. ; г)

lim

. ; д) lim

.

2n

2

3n 1

x

3

3x

2

4

n

x 2

x

3

3 x

2x

7. Продиференціювати вказані функції:

3

x

ctgt

; в) ysin x2

xcosy2

а) y 2 4x 3)

;

б)

1

7 0.

x

5

x 1

y

sin2 t

5

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

x

1 2

.

x

1

9.Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a)cos 590; б) 195.

10.Знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних:

z

x2

y2 xy x

y у замкнутім трикутнику, обмеженому прямими

x 1, y 0,

x

3y

6 .

ІІ семестр

11.

Знайти невизначені інтеграли:

1

ln(x

1)

dx. ; в)

3x3

9x2

10x

2

dx.

а)

arctg

5x

1dx. ; б)

x

1

(x

1)(x

1)3

12.

Знайти визначені інтеграли

3

4

/ 3 cos

10

а)

1

x

dx. ; б)

x

dx ;

в)

dx

.

4 x 4 2

1

x (x 1)

2

/ 3

4

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Ох):

y sin 2x , y x2 .

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 6 частин

6

x2 15dx .

0

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

а)

5 y 2

yy 1 x2 0. ; б) xy 3 x2

y 2

y. ;

xex

y

dx

1

dy

0.

y

в)

y

3x, y(1) 1. ; г)

x

2

x

x

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y y 4x 2 3x 2.

17.

Обчислити

4

xy 9x 2 y 2

x3 .

dxdy; D : x

1, y

x , y

D

5

18.

Дослідити на збіжність ряд:

n!

.

n

( 1)n

n 1 n

n 1

2n

1

2

а)

; б)

.

; в)

.

3n

1

3

n 1

n 1

3ncso 3n

19.

Знайти область збіжності ряду:

n

1

(x 4)

2n .

3n

1

3

n 1

20. На внесену щорічно ренту (400 тис. грн.) банк за ставкою 20% щорічно нараховує складні відсотки. Визначити суму коштів через 10 років.

Варіант №17

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

2x z 21, y z 12,

x y 2z 25.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

7 6 6

2 3 2 .

2 2 3

3. 1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(6,2, 3),

B(6,3, 2),

C(7,3, 3).

2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його

висоту, опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 ( 1,2, 3),

A2 (4, 1,0),

A3 (2,1, 2),

A4 (3,4,5).

4.Прибуток від продажу 10 одиниць деякого товару становить 10 грн., 20 од. – 25 грн. Визначити прибуток від продажу 100 од. Товару, за умови, що функція прибутку лінійна.

5.Подані координати вершин трикутника АВС: А (1,6,6), В (6,- 2,2),С (- 3, -

4,4). Знайти: а) довжину та рівняння медіани СЕ;б) довжину висоти АД;

в) внутрішній кут С у радіанах з точністю до 0,01;г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АС.

6. Обчислити границі:

а)

lim

(2n

3)3

(n

5)3

. ; б) lim

n(n5 9)

(n4

1)(n2 5)

;

(3n

1)

3

(2n

3)

3

n

n

n

n 3 n 4

x3

6x2

12x 8

3

в) lim

. ; г) lim

. ; д)

lim

x 6 2

.

n

5

x

3

3x

2

4

x

2

n

x 2

x

2

7. Продиференціювати вказані функції:

x

t 5

4

в) xy5 e x2 y 10x 0 .

а) y

x2

1)

3 x3

1 ; б)

y

1

;

t

2

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

3x4

1

.

x

3

9.Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a)sin1810 ; б) 290.

10.Розв‟язати задачу: розділити число 12 на такі три частини, щоб їхній добуток був найбільшим.

ІІсеместр

11. Знайти невизначені інтеграли:

а) (5x 6) cos2xdx. ; б)

(x2

1)dx

. ; в)

2x3

6x2

7x 4

dx.

(x3

3x

1)5

(x

2)(x

1)3

12. Знайти визначені інтеграли

2

8

dx

dx

а)

. ;

б)

(x 2

1)3 xdx ; в)

.

x x 2

1

0 x 2

x 2

3

1

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Оу):

y arccos 3x , y arccosx, y 0.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

	10
поділити на 10 частин		x 2 36dx .
	0

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

3xy2 dx. ; б) 2 y

y 2

8

y

8.;

а) 6xdx

ydy yx2 dy

x2

x

в) y

2xy

1

x2 , y(1)

3. ;

x2

1

10xy

1

dx

5x2

x cos y

y 2 sin y3 dy

0.

sin y

sin2

y

г)

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y|V

3y

3y

y

x 3.

17. Обчислити: (24xy

48x3 y3 )dxdy; D : x

x2 , y

1, y

x.

D

18. Дослідити на збіжність ряд:

n! 2

.

n

2

n

1

( 1)

n 1

а) n 1 3 1 2n ! ; б)

. ; в)

.

n 1

nn

3 2 n

n 1

n 1

19. Знайти область збіжності ряду:

(x

6)n

.

n

1

n

3 2n

20. На внески банк нараховує 20% річних. Інфляція складає 10% в рік.

Процентні суми нараховуються один раз у рік за формулою складних відсотків.Яка реальна сума буде нагромаджена за 8 років, якщо розмір внеску дорівнює 120 тис.

грн.

Варіант №18

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

x y z 2, 2x 3y z 5,

х у z 7.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

13 2 2

6 9 6 .

22 5

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(0,0,4),

B( 3, 6,1),

C( 5, 10, 1).

2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його

висоту, опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (4, 1,3),

A2 ( 2,1,0),

A3 (0, 5,1),

A4 (3,2, 6).

4. Витрати виробництва 40 одиниць деякого товару складають 120 грн., а 400

одиниць – 560 грн. Визначити витрати виробництва 160 од. товару за умови, що функція витрат є лінійною.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (2,2,2), В (1,7,6), С (- 4,- 2,2).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут С у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

6. Обчислити границі:

а)

lim

(2n

3)3

(n

5)

3

. ; б) lim

n(n5 9)

(n4

1)(n2

5)

;

(3n

1)

3

(2n

3)

3

n

n

n

n 3 n 4

x3

6x2

в)

lim

. ; г)

lim

12x 8

. ; д)

lim

3 16x 4

.

n

5

x

3

3x

2

4

n

x

2

x 4

4 x

2x

7. Продиференціювати вказані функції:

			1						x	ln cost	; в) x3 ln y y 4 ln x e xy 10 0 .
а)	y					55 x3 1 ; б)
										1 sin2
			x2
				1					y		t

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

4x

y (x 1)2 .

9. Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a) ln2,7;	б) 360.

10.Розв‟язати задачу: з усіх прямокутних паралелепіпедів, що мають суму довжин ребер 48 м знайти паралелепіпед з найбільшим об'ємом.

ІІсеместр

11.Знайти невизначені інтеграли:

а) (3x 2) cos5xdx. ; б)

4arctgx

x

dx.; в)

2x3

6x2

5x

dx.

1 x2

(x

2)(x

1)3

12. Знайти визначені інтеграли

e 1

ln x

3 3 / 4

dx

dx

а)

dx. ; б)

; в)

.

x

1 x2

/ 2 3 2x2

1

3

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Оу):

yarcsin 5x , y arcsin x, y 2 .

14.Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

6

x 2 40dx .

4

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

		3y3	10yx2
	xy				. ; в)
а) y ln y xy 0.; б)		2 y 2	5x2				y	1 2x		y 1, y(1) 1. ;
									x2
				y		e x	dx		xdy		dy 0.
		г)	x2	y 2					x2	y 2

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y|V 2 y

y 12x 2 6x.

17.

Обчислити: (6xy 24x3 y3 )dxdy; D : x

x2 .

1, y

x, y

D

18.

Дослідити на збіжність ряд:

а) n 1 n!sin

. ; б)

2n 1

2n

n2 sinn

. ; в) (

1)n

.

n 1

2n

n 1

3n

n5

19.

Знайти область збіжності ряду:

(x 5)2n 1.

n

1 n

1 !

20. Обчислити суму, яку потрібно внести на рахунок в банку, щоб виплачувати протягом 4 років наприкінці року додаткову пенсію в сумі 1000 грн. Банк нараховує відсотки в кінці року в розмірі 8% складних річних.

Варіант №19

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

x 2 y z 14, 2x y 5z 2, 2 y 3z 24.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

7 2 2

4 5 2 .

0 0 3

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

	A(2,	8, 1),
	B(4,	6,0),
	C( 2, 5, 1).
2)	Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його
висоту, опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .
	А1 (1,		1,1),
	A2 (	2,0,3),
	A3 (2,1,		1),
	A4 (2,		2, 4).
4. Витрати перевезення двома транспортними засобами виражаються
функціями y	180 60x і y 190 30x , де x - відстань перевезення в сотнях кілометрів,

а y - транспортні витрати в грошових одиницях. Визначити, починаючи з якої відстані більш економічним стає другий транспортний засіб.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (-1,3,0), В (2,0,0), С (4,-1,2).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани СЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній

кут С у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка

проходить через т. Е паралельно прямій АС.

6.

Обчислити границі:

(n

10)2

(3n

1)2

n3

1

2n n3

а)

lim

. ; б)

lim(

n(n

5)

n) ; в) lim

.;

3

(n

6)

3

(n

1)

3

n

1

n

n

n

x3

5x2

г)

lim

8x

4

.; д)

lim

9

2x

5

.

x3

7x2

16x 12

3 x2

x

2

x 8

4

7.

Продиференціювати вказані функції:

x

3cos3 t

а) y

ln x

1

x3

ctg

17x2

; б)

; в) x3 y 2

y

arctgy 0 .

y

6sint

8.

Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

8(x

1)

.

(x

1)2

9.Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a)lg9 , б) 37 .

10.Розв‟язати задачу: визначити розміри прямокутного басейну обсягом 32м2 ,

щоб на його облицювання (дна та стін) потрібно було б витратити найменшу кількість матеріалу.

ІІ семестр

11. Знайти невизначені інтеграли:

			x3
а) (x 2 3) cos2xdx.; б)				dx.; в)
			x2 4

12. Знайти визначені інтеграли

2x	3	6x2	7x	dx.
(x		2)(x	1)3

	2			dx					xdx
а)						. ; б) x sin xdx; в)				.
			x					x4	x2 1
				x2 1
		2					0
				0

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Оу):

y x 2 , x 2, y 0.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

2,1ln 1		x 2
			dx .
1,1 2x		1

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

y		x2 3xy y 2	.
		3x2 2xy		3y	2
а) (1 e x ) y yex . ; б)			; в) y				, y(1) 1. ;
				x		x3
г) e y dx (cos y xe y )dy	0.

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y 4 y 32 384x 2 .

17. Обчислити: (4xy

16x3 y3 )dxdy; D : x

3

x3 .

1, y

x, y

D

18. Дослідити на збіжність ряд:

n

1 !

.

n3

n 3 !

nn

n

а)

n 1

; б)

. ; в)

( 1)

.

ln n n

2n

n 2

n 1

19. Знайти область збіжності ряду:

3n

2

(x 3)n .

n

1

2

2

n

n 1

20. Визначте поточну вартість ренти, нагромаджену в результаті щорічних внесків у розмірі 5 тис. грн. протягом 4 років. Процентна ставка – 25%.

Варіант №20

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

2x	y	3z	2,
x	2 y	3z	3,
х	у	2z	1.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

9 0 0

2 7 4 .

22 5

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .