Математика для економістів Заоч. 2010 ч

(n

1)4

(n

1)4

lim

n

4

n .;

а) lim

.; б) lim(n

n(n 1)) ; в)

(n

1)

3

(n

1)

3

n

2

n

n

n

г)

lim

x2

3x

2

. ; д) lim

3 8

3x

x 2

2

.

x

1 x3

2x2

x 2

x 0

3 x 2

x3

7. Продиференціювати вказані функції:

а)

y

e x

2

sin x

x3 arccosln x ; б)

x

ln tgt

; в)

arctgx y arctgy x y2 0 .

y

ctgt

tgt

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

1

y x4 1.

9. Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення: a) ln 2,69 ; б) cos 226 .

10. На площині x y 2z 0 знайти точку, сума квадратів відстаней від якої до

площин	1	x z 2 0 і y 3z 2 0	була б найменшою.
	3

ІІ семестр

11. Знайти невизначені інтеграли:

а) (2 3x) sin 2xdx. ; б)		x		dx.; в)	x3	6x2 10x 12	dx.
	x 4
			1		(x	2)(x 2)3

12. Знайти визначені інтеграли

0	tg(x	1)		2		tgxdx			2		xdx
а)			dx. ; б)				;	в)					.
1 cos2 (x		1)				cos2 x			0 4		x 2 3

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Оу):

y 2 x 2, y 0, y x3 , y 1.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

	4,5 ln 3		x2
				dx .
	3,5	x	3

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

а) 3 y 2

1 x2 yy 0. ; б) xy 2 3x2 y 2 y. ;

в) y 2xy

xe x2 sin x, y(0)

1.; г) (x 2

4xy 2 y 2 )dx

( y 2

4xy 2x 2 )dy 0.

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y|V

y

x.

17.

Обчислити:

176x3 y3 )dxdy; D : x

x3 .

(4xy

1, y

x, y

D

18.

Дослідити на збіжність ряд:

3

5

7

...

2n

1

. ; б)

1 2n

3n

( 1)n

а) n 1 2

5

8

...

3n

1

n

.; в)

.

4n

2

1 n cos 2 n

4

n 1

n

19.

Знайти область збіжності ряду:

2n

(x

1)3n .

3n

1

3

n 1

20. Нарощена сума склала 10 тис. грн. , відсоткова ставка -5% річних. Строк зберігання грошей – 36 місяців. Визначити початкову суму грошей за простими і складними відсотками.

Варіант №25

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

x	3y	4z	14,
	y	z 3,
4x	5y	2z	2.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

3 0 0

1 2 1 .

11 2

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(7,0,2),

B(7,1,3),

C(8, 1,2).

2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту,

опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (0, 3,1),

A2 ( 4,1,2),

A3 (2, 1,5),

A4 (3,1, 4).

4.Прибуток від продажу 50 одиниць деякого товару становить 50 грн., 100 од. – 200 грн. Визначити прибуток від продажу 500 од. Товару, за умови, що функція прибутку лінійна.

5.Подані координати вершин трикутника АВС: А (3,5,4), В (8,7,4), С (5,10,5).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани СЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут С у радіанах з точністю до 0,01;г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АС.

6. Обчислити границі:

(n

1)3

(n

1)3

а)

lim

.; б)

lim n3 (3

n2 (n6 4)

3 (n8

1)) ;

2

n

(n

1)

(n

1)

2

n

7n2

n 2

в) lim

18n

15

. ; г) lim

2x2 x

1

. ; д)

lim

1

2x

3x 2

(1

x)

.

7n2

2x2

n

11n 15

x 1 x3

x 2

x 0

3 x

7.

Продиференціювати вказані функції:

x

1

t 2

а)

y

ln ctg10x

esin 2 x ; б)

y

1

;

в) y sin e x

xy2

x cos2

y

0 .

t

8.

Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

x

2

y

.

x

2

9.

Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a) arcctg1,03 ,

б)

48 .

10. Знайти сторони прямокутного трикутника, що має найменший периметр,

якщо його площа дорівнює 64 см 2 .

ІІ семестр

11. Знайти невизначені інтеграли:

а) (4x 3) sin 5xdx. ; б)	x	1/ x		dx. ; в)	x3	6x2	14x 4	dx.
					(x	2)(x	2)3
		x 2 1

12. Знайти визначені інтеграли

							e	2
	1/	2 (arccosx)3				1			dx
а)							dx. ; б) ln2 xdx ; в)					.
	0				1 x2				x ln x
						1		1

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Оу):

y x3 , y x 2 .

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

4,2 ln x2 7

dx .

3,2 x 4

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

4 y

y 2

10

y

5. ;

а)

xdx

ydy

yx2 dy

xy2 dx. ; б)

x2

x

1

x

x

x

1

e y

dx 1

e y dy 0.

y 2

в)

y

2 y

(x 1)3 , y(0)

1

. ; г)

y

x 1

2

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y

3y 2 y

x 2

2x

3.

17. Обчислити:

6x 2 y 2

25

x3 y3

x 2 , y

dxdy; D : x

1, y

x.

D

3

18. Дослідити на збіжність ряд:

1

4 7

...

3n 2

n2

1 7

9 11 ...

2n

5 . ; б)

2n

( 1)n sin

а) n

.; в)

.

4n

3

2n

n

1

n 1

19. Знайти область збіжності ряду:

n3

(x

4)2n 1.

n 1

n

3 !

20. Якою буде реальна купівельна спроможність суми 150000 грн. через 5 років,

якщо нараховуються 20% складних відсотків, а прогнозований рівень інфляції становить 15% щороку?

Варіант №26

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

2x	2 y	z	8,
y	2z		9,
2х	у	4z	19.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

5 0 0

1 4 1 .

11 4

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(2,3,2),

B( 1, 3, 1),

C( 3, 7, 3).

2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту,

опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (1,3,0),

A2 (4, 1,2),

A3 (3,0,1),

A4 ( 4,3,5).

4. Витрати виробництва 20 одиниць деякого товару складають 100 грн., а 300

одиниць – 500 грн. Визначити витрати виробництва 100 од. товару за умови, що функція витрат є лінійною.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (10,6,6), В(-2,8,2), С (6,8,9).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани ВЕ; б) довжину висоти ВД; в) внутрішній кут А у радіанах з точністю до 0,01;г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій ВС.

6. Обчислити границі:

(n

1)3

(n

1)3

2n

1 n 1

а)

lim

.; б) lim(n

n

n(n 1)(n 2)) ; в)

lim

. ;

(n

1)

2

(n

1)

2

2n

1

n

n

n

x2

2x

3

г)

lim

. ; д) lim

9

2x

5

.

x

3 x3 4x2

3x

x 8

3 x 2

7.

Продиференціювати вказані функції:

а) y

x 2 cos x

x

; б)

x

3t 5 t

; в) esin x

ecos y exy

11

0 .

1

x 2

y

2 ln t

8.

Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

x3

32

.

x

2

9. Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a)sin 92 , б) 365 .

10.Розв‟язати задачу: подати додатне число a у виді добутку трьох додатних співмножників так, щоб сума їхніх обернених величин була найменшою.

ІІсеместр

11.Знайти невизначені інтеграли:

а) (7x 10) sin 4xdx. ; б)	x	1/ x		dx. ; в)	x3	6x2	15x 2	dx.
					(x	2)(x	2)3
		x 2 1

12. Знайти визначені інтеграли

	2	1	cos x		1	0
а)				dx. ; б)	ln xdx ; в)	arccosxdx .
		(x	sin x)2
					0	1

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Оу):

y arccos	x	, y	arccos	x	, y 0.
5			3

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

	4,3ln x 2			5	dx .
	3,5		x	3

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

xy

3y3 14yx

2

. ;

а)

5 y 2 dx 4(x2 y y)dy 0. ; б)

2 y 2

7x2

в) y y cosx sin2x, y(0)

3.; г)

(3x3

6x 2 y

3xy2 )dx (2x3

3x 2 y)dy

0.

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y

3y

2 y

x 2

2x

3.

17. Обчислити: (9x2 y 2

25x4 y 4 )dxdy; D : x

x2 .

1, y

x, y

D

18. Дослідити на збіжність ряд:

2n !

.

n

2

n

а)

n 1 2

n

3 ; б)

; в)

1)n sinn

.

(

.

(2n2

1)n 2

n 1

n 1

2n

19. Знайти область збіжності ряду:

1 n

(x

2)n .

n 1 4n

1 2n

20. Позичено 60 тис. грн. під 21% річних простих на 12 місяців. Відсотки

нараховуються щомісяця. Розрахуйте кінцеву суму боргу.

Варіант № 27

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

2x	z	21,
x y	2z	25,
y	z	12.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

6 1 1

2 5 2 .

11 4

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(2,2,7),

B(0,0,6),

C( 2,5,7).

2)Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту,

опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 ( 2, 1, 1),

A2 (0,3,2),

A3 (3,1, 4),

A4 ( 4,7,3).

4.Витрати перевезення двома транспортними засобами виражаються

функціями y 100 50x і y 150 25x , де x - відстань перевезення в сотнях кілометрів,

а y - транспортні витрати в грошових одиницях. Визначити, починаючи з якої відстані більш економічним стає другий транспортний засіб.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (1,8,2), В (5,2,6), С (5,7,4).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут В у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АС.

6. Обчислити границі:

(n 2)3 (n

2)3

а) lim

. ; б)

lim3

n(3 n2

3 n(n 1)) ;

n

4

2n

2

1

n

n

n3

n 1 2n2

x3

4

в) lim

. ; г) lim

2x 1

. ; д)

lim

x 2

.

n3

n

2

x 1 x4

2x 1

x 16 3

(

x

4)

2

7. Продиференціювати вказані функції:

x

tgt

а) y

arctgx2

x3 ln x ; б)

y

1

;

в) x3 x 2 y y 3 5 0 .

sin3 t

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

4(x 1)2

.

x2

2x

4

9.Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a)lg1002 , б) 3 65 .

10. Знайти найбільше значення функції	z sin x sin y sin( x y) у
трикутнику, обмеженому осями Ох, Оу і прямою x y	3 .

ІІ семестр

11. Знайти невизначені інтеграли:

а) (

8x) sin 3xdx.; б)

arctgx

x

dx. ; в)

2x3

6x2

7x 4

dx.

2

1

x2

(x

2)(x

1)3

12. Знайти визначені інтеграли

/ 4

5

5dx

1

а)

sin x

cos x

dx. ; б)

; в) x2x dx .

0

(x

sin x)2

25

x

2

1

0

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Оу):

yarcsin x, y arccosx, y 0.

14.Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

4,6 ln x 2		7		dx .
3,6	x	4

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

y	x2	xy	5y 2	.
		x2				1
а) (1 e x ) yy e x . ; б)			6xy	; в) y 4xy	4x3 , y(0)		. ;
						2

		(x y)dx	(x y)dy	0.
	г)	x2	y 2

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y

5 y

6 y

(x 1)2 .

50

17.

Обчислити:

3x 2 y 2

x 4 y 4

dxdy; D : x

1, y

3 x , y x3 .

3

D

18.

Дослідити на збіжність ряд:

3n 2 !

2n

а) n 1 10n n2 . ; б)

n

1)n

sin3n

.; в)

(

.

n

n 1

3n

1

n 1

3n

19.

Знайти область збіжності ряду:

n

(x

4)3n .

4n

1

3

n 1

20. Якою є поточна вартість акції з щорічним девідентом 10 грн., якщо дисконтна відсоткова ставка для подібних акцій складає 10%?

Варіант № 28

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

x	2 y	3z	4,
2x	y	z	0,
х	у	2z	7.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

9 6 6

2 5

2 .

2 2 13

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A( 1,2, 3),

B(0,1, 2),

C( 3,4, 5).

2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту,

опущену із вершини A4	на грань A1 A2 A3 .
	А1 ( 3, 5,6),
	A2 (2,1, 4),
	A3 (0, 3, 1),
	A4 ( 5,2, 8).
4. Прибуток від продажу деякого товару в двох магазинах виражається
функціями y 10 15x	і y 15 16x , де x - кількість товару в сотнях штук, а y -

прибуток в тисячах гривень. Визначити, починаючи з якої кількості товару більш вигідним становиться продаж у другому магазині.

5.

Подані координати вершин трикутника АВС: А (6,6,5), В (4,9,5), С (4,6,11).

Знайти:

а)

довжину та

рівняння медіани АЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній

кут СА

радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка

проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

6. Обчислити границі:

(n 1)3

(n

1)2

а)

lim

. ; б) lim n

2(

n

3

n

4) ;

n

3

3n

n

n

n 3

(1 x)3

13n 3

(1 3x)

3 x 6 2

в)

lim

. ; г) lim

. ; д)

lim

.

13n 10

x2

x5

n

x 0

x

2 3 x3

8

7.

Продиференціювати вказані функції:

1

x

1

sin2 x

tg 3 x2

в) x3 yx

а) y

;

б)

cost ;

3cos y

0 .

x2

y

tgt

8.

Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

3x

2

.

x3

9.

Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a) log5 126 ,

б) 4 257 .

10.

Знайти

найбільше

й найменше

значення

функції

z 2x 2

y 2 на колі

x 2 y 2

4 .

ІІ семестр

11. Знайти невизначені інтеграли: