Математика для економістів Заоч. 2010 ч

A(3, 6,9),

B(0, 3,6),

C(9, 12,15).

2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту, опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (1,2,0),

A2 (1, 1,2),

A3 (0,1, 1),

A4 ( 3,0,1).

4. Прибуток від продажу деякого товару в двох магазинах виражається функціями y 15 18x і y 20 20x , де x - кількість товару в сотнях штук, а y -

прибуток в тисячах гривень. Визначити, починаючи з якої кількості товару більш вигідним становиться продаж у другому магазині.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (6,1,5), В (5,1,0), С (-4,1,-2).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут В у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

6. Обчислити границі:

(n 7)3

(n 2)3

n3

1 n2

3

n n4 2

2n2

21n 7

2n 1

а)

lim

.; б)

lim

; в) lim

. ; г)

(3n

2)

2

(4n 1)

2

2n

2

18n 9

n

n

2

n

n

x3

lim

3x 2

.; д)

lim

3 x / 9 1/ 3

.

x 2

x 2

x 1/ 3

1/ 3 x

2x

7. Продиференціювати вказані функції:

а) y

x

arcsin x2

; б)

x

3et

t 3

; в)

x 2 cos y

y 2 arcsin x xy 15

0 .

2t 3

t 2

x3

1

y

1

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y1 2x3 . x2

9.Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a) cos182
	б) 3 126

10.Розвязати задачу: заданий трикутник з вершинами А(4;-2), В(3;6), С(-1;-1).

Уплощині трикутника знайти точку, для якої сума квадратів відстаней до його вершин буде найменшою.

ІІ семестр

11. Знайти невизначені інтеграли:

а) (4x 7) cos3xdx.; б)

x

cos x

dx. ; в)

2x3

6x2

5x 4

dx.

x2

2sin x

(x

2)(x

1)3

12. Знайти визначені інтеграли

e

2

2

1

1

dx

а)

x

ln x

dx.; б)

x2x dx ; в)

.

x

1 1

x

2

1

1

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Оу):

y x 2 1, y x, x 0, x 1.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

1 sin x

0 x 1dx .

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

а)

1 x2 y xy2

x 0. б) xy 3 2x2

y 2

y.

в) y

2xy 2x3 , y(1)

e 1. ; г) ( y3 cos x)dx

(3xy2

e y )dy

0.

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y|V

2 y

y

2 3x 2 .

17. Обчислити:

(4xy 16x3 y3 )dxdy; D : x

x3 , y

3

1, y

x.

D

18. Дослідити на збіжність ряд:

5n 3

n2

.

n

n3

n n

1

а)

n 1 (n

1)! ; б)

. ; в)

(

1)

.

3n 1

n3

n 1

n

1

19. Знайти область збіжності ряду:

(x

5)n

.

n

1 n

4 ln n

4

20. Створюється фонд, куди вносять внески протягом 10 років у розмір 1 тис.

грн. На зібрані кошти нараховується 12% складних річних. Якої величини буде фонд через 10 років?

Варіант № 21

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

2x	y	z	6,
3x	2 y	2z	9,
x	2 y	4z	17.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

15 0 0

2 13 4 .

22 11

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(0,2, 4),

B(8,2,2),

C(6,2,4).

2)Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту,

опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (1,0,2),

A2 (1,2 1),

A3 (2, 2,1),

A4 (2,1,0).

4. Прибуток від продажу 80 одиниць деякого товару становить 80 грн., 240 од. –

180 грн. Визначити прибуток від продажу 300 од. Товару, за умови, що функція прибутку лінійна.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (1,-1,6), В (-5,-1,0), С (4,0,0).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани СЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут В у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АС.

6. Обчислити границі:

(2n

1)3

(2n

3)3

а)

lim

.; б) lim(

(n2

1)(n2

2)

(n2

1)(n2

2)) ;

(2n

1)

2

(2n

3)

2

n

n

3 5n

x3

в)

lim

10n

. ; г)

lim

3x 2

.; д)

lim

3 x /16

1/ 4

.

10n 1

x2

2x 1

n

x

1

x 1/ 4

1/ 4 x

2x

7.

Продиференціювати вказані функції:

x

1

sin t

а) y

arctg 2 e x

x 2

2x

5 ; б)

; в)

x3 y

e y x cos y 0 .

y

ln t 5

8.

Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

4

.

x2

2x

3

9. Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a) arcctg1,02 ; б) y 4627 .

10.Розв‟язати задачу: знайти три числа, сума яких дорівнює 60, а сума їхніх квадратів була б найменшою.

ІІсеместр

11.Знайти невизначені інтеграли:

а)

(2x 5) cos4xdx.; б)

2 cos x

3sin x

dx. ; в)

x3

6x2

4x 24

dx.

(2sin x

3cos x)3

(x

2)(x 2)3

12. Знайти визначені інтеграли

1

xdx

1

1

dx

а)

. ; б)

tet dt ; в)

.

0

x4

x2 1

0

0 x 2

5x

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Оу):

y

x

1, y

0, y

1, x

0,5.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

3,1ln 2

x

2

dx

2,1

3x 1

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

3xy2 dx. ; б) y

y 2

8

y

12. ;

а) 6xdx 2 ydy

2x 2 ydy

x2

x

в) y

xy

x

, y(0)

2

. ; г) xey2 dx

(x2 yey2

tg 2 y)dy

0.

2(1 x2 )

2

3

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y y 49 24x 2 .

17. Обчислити: (44xy

16x3 y3 )dxdy; D : x

x2 , y

1, y

3 x (x

0).

D

18. Дослідити на збіжність ряд:

2n n!

.

(

1)

n

n

а) n 1

n ; б) n3arctgn

. ; в)

tg

.

n 1

3n

n 1

5n 1 4 n

19. Знайти область збіжності ряду:

1 n

(x

4)n .

n

n 1

4n 1 3

20. Вкладник протягом 5 років хоче отримувати щорічний дохід 12 тис. грн.

Депозитна ставка банку – 8 %. Визначити поточну вартість цієї ренти.

Варіант № 22

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

x	2 y	2z	21,
4x	4 y	5z	13,
2х	4 у	5z	23.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

19 2 2

6 15 6 .

22 11

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(3,3, 1),

B(5,1, 2),

C(4,1,1).

2)Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його

висоту, опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (1,2, 3),

A2 (1,0,1),

A3 ( 2, 1,6),

A4 (0, 5, 4).

4. Витрати виробництва 10 одиниць деякого товару складають 150 грн., а 100

одиниць – 700 грн. Визначити витрати виробництва 1000 од. товару за умови, що функція витрат є лінійною.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (4,2,5), В (0,7,2), С (0,2,7).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут С у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

6. Обчислити границі:

а)

lim

n3

(n

1)

3

. ; б) lim

(n5

1)(n2

1)

n

n(n4

1)

;

(n

1)

4

n

4

n

n

n

n2

x2

2x

1

n

3

1

x

1 x

в)

lim

. ; г) lim

.; д) lim

.

x3

x2

n

n 1

x 1

x 1

x 0

7 x

7. Продиференціювати вказані функції:

а) y

ln2 5x

cos3x

; б)

x

5t 2

4t

5 ;

в)

x3 y

x cos2

y arctgy 0

x3

y

3et

7t

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

4

.

3

2x

x2

9. Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a) sin 362

б) 26 .

10. З усіх прямокутних паралелепіпедів, що мають довжину діагоналі 9 см,

знайти той, об'єм якого найбільший.

ІІ семестр

11. Знайти невизначені інтеграли:

а) (8 3x) cos5xdx. ; б)

8x

arctg2x

dx.; в)

x3

6x2

14x

4

dx.

2)(x 2)3

1

4x2

(x

12. Знайти визначені інтеграли

1 x3 dx

1

2

dx

а)

.; б) 0 ln x 5 dx ; в)

.

0 (x2

1)2

0 x2

4x 3

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Оу):

y ln x, x 2, y 0.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

12 ln 5 x 2

22x 1 dx .

15.Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

				xy	3y3	12yx2	.
	а) y(1	ln y) xy	0.		2 y 2	6x2		x3 , y(0) 3. ;
				; б)			; в) y xy
	г) (5xy2	x3 )dx	(5x 2 y y)dy		0.

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y 2 y 3x 2 x 4.

Обчислити: (4xy

176x3 y3 )dxdy; D : x

x3 (x 0).

17.

1, y

3 x, y

D

18.

Дослідити на збіжність ряд:

5n n 1 !

.

3n n5

( 1)n

(2n)!

а) n 1

; б)

. ; в)

.

n 1

(2n 1)n

n 0

22n 1 2n 1

19.

Знайти область збіжності ряду:

n2

1)2n 1.

(x

n 1

n

2 !

20. З усіх прямокутних паралелепіпедів, що мають довжину діагоналі 9 см,

знайти той, об'єм якого найбільший.

Варіант №23

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

x	6	у	4z	81,
	2 y		z 23,
4x	5 y		2z	74.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

4 1 1

2 3 2 .

11 2

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A( 4,3,0),

B(0,1,3),

C( 2,4, 2).

2)Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його

висоту, опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (3,10, 1),

A2 ( 2,3, 5),

A3 ( 6,0, 3),

A4 (1, 1,2).

4.Витрати перевезення двома транспортними засобами виражаються

функціями y 130 34x і y 150 17x , де x - відстань перевезення в сотнях кілометрів,

а y - транспортні витрати в грошових одиницях. Визначити, починаючи з якої

відстані більш економічним стає другий транспортний засіб.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (4,4, 10), В (4,10,2), С (2,8,4).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани СЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній

кут В у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АС.

6.

Обчислити границі:

а)

lim

(n

2)4

(n

2)

4

. ; б)

lim

(n4

1)(n2

1)

n6

1

;

(n

5)

2

(n

5)

2

n

n

n

n 2

6n 5 3n 2

x4

в) lim

. ; г) lim

1

.; д) lim

3 27 x

3 27 x

.

n 2

5n 5

4

x2

n

x 1 2x

1

x 0

3 x2

5 x

7.

Продиференціювати вказані функції:

x ctgt

а) y

sin3 3x arctg 2 5x ; б)

y

1 ; в)

2 ln3 xy 4 ln2 xy xy2 0 .

cos2 t

8.

Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

x2

2x

7

.

x2

2x

3

9. Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a) sin 226 ; б) 329 .

10. На площині 3x 2z 0 знайти точку, сума квадратів відстаней від якої до точок A(1;1;1) і B(2;3;4) була б найменшою.

ІІ семестр

11.

Знайти невизначені інтеграли:

x3

6x2

а)

(x 5) sin 3xdx.; б)

1/(2

x ) 1

dx.

; в)

18x 4

dx.

2)3

( x

x)2

(x

2)(x

12.

Знайти визначені інтеграли

/ 4

1

2

dx

а)

0 tgxln cos xdx. ; б)

0 arcsin xdx ;

в)

.

0

x 2 2

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Оу):

y(x 1)2 , y 1.

14.Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

4 ln 4 x 2

32x 1 dx .

15.Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

x2

xy 3y 2

y

.

а) (3 e x ) yy

e x

x2

4xy

.; б)

;

в) y

2

y e x (x

1)2 , y(0)

1.; г) (cos(x

y

2

)

sin x)dx

2 y cos(x

y

2

)dy 0.

x

1

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y

13y

12y

x

1.

17. Обчислити:

4x3 y3 )dxdy; D : x

x3 , y

(xy

1, y

x.

D

18. Дослідити на збіжність ряди:

3n

. ; б)

n

а) n

1 4n (n

2)!

2n 1 e n .; в)

( 1)n

sin n

.

n

1

n 1

n

n

19. Знайти область збіжності ряду:

1 n

(x

3)n .

n

1

3n

1 2n

20. Фірмою взято кредит розміром 50 тис. грн. на 2 роки. Відсотки нараховуються щопівроку. За півроку відсоткова ставка становить 5%, а кожного

наступного півроку збільшується на 1 пункт. Яку величину відсоткових грошей та

кінцеву суму боргу повинна повернути фірма після заершення строку позики?

Варіант №24

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

2x	y	4z	39,
2x	y	2z	15,
	5х	2 у	8.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

2 1 1

1 2 1 .

0 0 1

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(1, 1,0),

B( 2, 1,4),

C(8, 1, 1).

2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту, опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 ( 1,2,4),

A2 ( 1, 2, 4),

A3 (3,0, 1),

A4 (7, 3,1).

4. Прибуток від продажу деякого товару в двох магазинах виражається функціями y 15 20x і y 16 22x , де x - кількість товару в сотнях штук, а y -

прибуток в тисячах гривень. Визначити, починаючи з якої кількості товару більш вигідним становиться продаж у другому магазині.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (4,6,5), В (6,7,4), С (2,10,10).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут В у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

6. Обчислити границі: